{"id":730,"date":"2013-02-03T15:15:25","date_gmt":"2013-02-03T14:15:25","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=730"},"modified":"2013-02-13T17:11:31","modified_gmt":"2013-02-13T16:11:31","slug":"32-eine-erste-annaherung-an-die-ursprungliche-frage-2004","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/iml2\/das-buch\/entstehungsgeschichte\/32-eine-erste-annaherung-an-die-ursprungliche-frage-2004\/","title":{"rendered":"32. Eine erste Ann\u00e4herung an die urspr\u00fcngliche Frage (2004)"},"content":{"rendered":"<p><em>Das folgende waren meine Gedanken zur Zeit, als das IML als Buch erschien. Unterdessen gibt es zum Thema Mathematik bzw. <a title=\"Alltagsmathematik\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=29\">Alltagsmathematik <\/a>einiges mehr zu sagen.<\/em><\/p>\n<p>Eingangs habe ich geschildert, aus welcher Situation heraus ich mich f\u00fcr das Thema &#8222;Lernen&#8220; zu interessieren begann. Es waren Gespr\u00e4che, in denen es mir nicht gelang mein mathematisches Wissen an meine Mitsch\u00fcler weiterzugeben. Hier nochmals als Beispiel der Dialog aus dem Abschnitt <a title=\"1. Ausl\u00f6ser (1971)\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=636\">der Ausl\u00f6ser<\/a>.<\/p>\n<ul>\n<li>Hans:\u00a0\u00a0\u00a0Du, diese Aufgabe, wo wir das Minimum ausrechnen m\u00fcssen, kannst du mir erkl\u00e4ren, wie das geht?<\/li>\n<li>Ruedi:\u00a0\u00a0Welche meinst du?<\/li>\n<li>Hans:\u00a0\u00a0\u00a0Hier schau: Gesucht ist das Minimum von y = 4x<sup>2<\/sup> + 3x -17.<\/li>\n<li>Ruedi:\u00a0\u00a0Aha ja. Da muss man herausfinden, f\u00fcr welches x das y am kleinsten ist.<\/li>\n<li>Hans:\u00a0\u00a0\u00a0Gut. Und wie macht man das?<\/li>\n<li>Ruedi:\u00a0\u00a0Du musst einfach die Ableitung der Funktion nehmen und diese Null setzen.<\/li>\n<li>Hans:\u00a0\u00a0\u00a0Nullsetzen?<\/li>\n<li>Ruedi:\u00a0\u00a0Ja, du musst das x suchen, f\u00fcr das dann das y Null wird.<\/li>\n<li>Hans:\u00a0\u00a0\u00a0Und warum muss man das machen?<\/li>\n<li>Ruedi:\u00a0\u00a0Ja weist du, im Minimum geht es weder nach oben noch nach unten. Die Steigung ist dort also flach und damit Null.<\/li>\n<li>Hans:\u00a0\u00a0\u00a0??<\/li>\n<li>Ruedi:\u00a0\u00a0Kannst du dir das nicht vorstellen?<\/li>\n<li>Hans:\u00a0\u00a0\u00a0Nein.<\/li>\n<li>Ruedi:\u00a0\u00a0Ja also, die Funktion sieht irgendwie so aus (zeichnet eine Parabel).<\/li>\n<\/ul>\n<div>\n<p style=\"text-align: center;\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" style=\"border: 0px none;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/typo\/fileadmin\/bilder\/zusatz_buch\/parabel.gif\" border=\"0\" \/><\/p>\n<\/div>\n<ul>\n<li>Hans:\u00a0\u00a0\u00a0So?<\/li>\n<li>Ruedi:\u00a0\u00a0Ja! Und das Minimum, das ist dann hier. Und hier ist die Steigung Null.<\/li>\n<li>Hans:\u00a0\u00a0\u00a0Warum? Es geht doch auf beide Seiten hinauf?<\/li>\n<li>Ruedi:\u00a0\u00a0Schon. Aber es geht um die Tangente. Und die verl\u00e4uft hier flach. &#8230;. usw.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Von diesem Ausgangspunkt haben sich immer neue Fragen ergeben, die wie Wellen immer weitere Kreise zogen bis hin zur Gestaltung ganzer Ausbildungen und lernenden Organisationen. Was l\u00e4sst sich nun aber, dreissig Jahre sp\u00e4ter, zur urspr\u00fcnglichen Frage sagen?<\/p>\n<p>Damals habe ich die Anfragen meiner Mitsch\u00fcler als Bitte um eine Instruktion verstanden und auch so gehandelt. Relevant sind f\u00fcr die Analyse der Situation also einmal die in Buch Kapitel 1 beschreiben Schwierigkeiten beim Verstehen einer Instruktion. Im Dialog bekommt man den Eindruck, dass HANS mit verschiedenen Punkten der Aufgabe Probleme hat. Er weiss nicht, was mit &#8222;Nullsetzen&#8220; gemeint ist; er ist \u00fcberrascht, dass die Funktion graphisch als Parabel dargestellt werden kann; er hat Probleme, die Steigung im mathematischen Sinn zu sehen und vermutlich hat er noch andere Schwierigkeiten. All diese Dinge h\u00e4ngen irgendwie zusammen. Es gibt zwar einige Punkte, die man als grundlegende Voraussetzungen separat behandeln k\u00f6nnte, so etwa die graphische Darstellung von Funktionen. Die meisten Punkte machen aber erst im Zusammenhang mit allen anderen Sinn. Sogar die graphische Darstellung bekommt erst eine Bedeutung, wenn man sie f\u00fcr etwas brauchen kann. Es d\u00fcrfte sich beim Wissen, das HANS fehlt, um einen typischen Fall &#8222;nicht inkrementell aufbaubaren Wissens&#8220; handeln. Zudem fehlt ihm wohl auch der &#8222;Anwendungskontext&#8220;, wenn das auch nicht direkt aus dem Dialog hervorgeht. Die Voraussetzungen f\u00fcr eine gelingende Instruktion sind also \u00e4usserst schlecht, um nicht zu sagen hoffnungslos. Dass ich damals mit einer raschen Erkl\u00e4rung jeweils in der Pause vor der Mathematiklektion kaum etwas erreichen konnte, \u00fcberrascht also nicht.<\/p>\n<p>Vor denselben Schwierigkeiten stand nat\u00fcrlich auch der Lehrer. Bei ihm kam noch dazu, dass er seine Instruktion gleich an eine ganze Klasse richtete. Dadurch hatte er noch viel mehr M\u00fche, das vorhandene Vorwissen abzusch\u00e4tzen und darauf aufzusetzen, als ich im Gespr\u00e4ch mit nur einem Mitsch\u00fcler. Die L\u00f6sung des Minimumproblems mit Hilfe des Differenzierens ist also ziemlich sicher ein Thema, dass \u00fcber Instruktion allein nicht gelehrt und gelernt werden kann. &#8222;Aus Erfahrung&#8220; allein aber auch nicht (vgl. Buch Kapitel 8). Man kann praktisch ausschliessen, dass ein Sch\u00fcler \u00fcber verschiedene Versuche Minima zu berechnen zu dieser L\u00f6sung gelangt. Notwendig w\u00e4re folglich eine Kombination beider Zug\u00e4nge, die aber nicht stattgefunden hat. Der Lehrer f\u00fchrte die L\u00f6sung rein \u00fcber eine Instruktion ein. Die Aufgaben, welche die Sch\u00fcler anschliessend zu bearbeiten hatten, waren ausschliesslich als \u00dcbungsaufgaben gedacht und wurden auch so verstanden (vgl. Buch Kapitel 14). Sie konnten nicht benutzt werden, um selbst Erfahrungen zu sammeln und anschliessend um eine neue, nun verst\u00e4ndlichere Instruktion zu bieten. Nat\u00fcrlich illustrierte der Lehrer die L\u00f6sung anhand eines Beispiels. Dabei f\u00fchrte er aber eine reine Expertenl\u00f6sung vor, die f\u00fcr die Sch\u00fcler kein Erfahrungsersatz bildete (vgl. Buch Kapitel 8).<\/p>\n<p>Allerdings w\u00e4re es f\u00fcr den Lehrer (\u00fcbrigens ein junger Mathematiker frisch von der Universit\u00e4t) gar nicht so leicht gewesen, seinen nun im etwa im zehnten Schuljahr stehenden Sch\u00fcler geeignete Erfahrungen zu vermitteln. H\u00e4tte er sie einfach einmal selber ohne vorgegeben L\u00f6sungsweg an einer Minimumaufgabe arbeiten lassen, h\u00e4tten die meisten wohl einfach gestreikt. Der Glaube daran, dass zwischen dem mathematischem Stoff und irgend einem interessanten Anwendungskontext eine Verbindung besteht, war bei ihnen l\u00e4ngst verloren gegangen. Vom Lehrer erfundene Beispiele w\u00e4ren darum wohl kaum als relevant akzeptiert worden (vgl. Buch Kapitel 25). Er h\u00e4tte also einen betr\u00e4chtlichen Aufwand betreiben m\u00fcssen, damit die Sch\u00fcler selbst geeignete Beispiele geliefert h\u00e4tten.<\/p>\n<p>Was h\u00e4tte ich in dieser Situation tun k\u00f6nnen? Nun, ein erster Schritt h\u00e4tte darin bestanden, das Modell &#8222;Ich erkl\u00e4re, du verstehst und wendest an&#8220; zu verlassen. Ich dachte immer, ich m\u00fcsste nur meine Darstellung, meine Instruktion verbessern, dann w\u00fcrden die anderen verstehen und erleuchtet zur Anwendung schreiten. Genau diese Optimierung der <strong>Instruktion vor der Anwendung<\/strong> brachte aber aus den geschilderten Gr\u00fcnden nichts. Ich h\u00e4tte die Probleme meiner Mitsch\u00fcler als erste Erfahrungen mit diesem Aufgabentyp verstehen m\u00fcssen und meine Instruktion h\u00e4tte dann als <strong>Instruktion nach Erfahrungen<\/strong> dazu dienen k\u00f6nnen, ihnen diese Erfahrungen verst\u00e4ndlich zu machen (vgl. Buch Kapitel 10). Konkret h\u00e4tte das bedeutet, anstatt gleich mit einem Vortrag zu beginnen, zuerst einmal nach den bisher gemachten Erfahrungen zu fragen.<\/p>\n<p>Allerdings ist fraglich, ob ich in der knappen Zeit einer 7&#8217;30&#8220; langen Pause weit gekommen w\u00e4re, zumal in dieser Zeit auch noch die Zimmer gewechselt werden mussten. Meistens brauchen solche Hilfen etwas mehr Raum. Vor allem, wenn sie den Anspruch haben, die Fragenden von weiteren Hilfen unabh\u00e4ngig zu machen. Und diesen Anspruch hatte ich durchaus. Ein sinnvolleres Setting w\u00e4re also eine Art Nachhilfeunterricht gewesen. Dieser h\u00e4tte als eine Art Miniaturschiene (vgl. Buch Kapitel 24) organisiert sein k\u00f6nnen. Teilgenommen h\u00e4tten vielleicht drei bis vier der Mitsch\u00fcler. Ich h\u00e4tte versucht, sie selber Anwendungsbeispiele zum jeweiligen Thema finden zu lassen und dann h\u00e4tte man jeweils einen der Aspekt der L\u00f6sung, wie &#8222;Problem als Funktion beschreiben&#8220;, &#8222;Funktion graphisch darstellen&#8220;, &#8222;Steigung und Differenzieren&#8220; und &#8222;Punkte mit charakteristischen Steigungsmerkmalen&#8220; behandelt.<\/p>\n<p>Erst k\u00fcrzlich bin ich \u00fcber das Buch von &#8222;Beyond Formulas in Mathematics and Teaching&#8220; gestolpert. Auf einem etwas anderen Weg aber aufgrund \u00e4hnlicher Erfahrungen kommt Chazan dort zu \u00e4hnlichen Schl\u00fcssen und zu einer ganz \u00e4hnlichen Form des Mathematikunterrichts, wie ich mir meine Nachhilfeschiene vorstelle.<\/p>\n<h3>Literatur<\/h3>\n<ul>\n<li>Chazan, D. (2000) <strong>Beyond Formulas in Mathematics and Teaching<\/strong>. <em>New York: Techers College Press<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&lt;&lt;<a title=\"31. Situierte Kompetenzen\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=728\">vorher<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Das folgende waren meine Gedanken zur Zeit, als das IML als Buch erschien. Unterdessen gibt es zum Thema Mathematik bzw. Alltagsmathematik einiges mehr zu sagen. 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