{"id":663,"date":"2013-02-03T14:19:12","date_gmt":"2013-02-03T13:19:12","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=663"},"modified":"2013-02-08T18:51:56","modified_gmt":"2013-02-08T17:51:56","slug":"7-mathematikunterricht-1979","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/iml2\/das-buch\/entstehungsgeschichte\/7-mathematikunterricht-1979\/","title":{"rendered":"7. Mathematikunterricht (1979)"},"content":{"rendered":"

Selbstverst\u00e4ndlich versuchte ich meine in der Auseinandersetzung mit der Erkenntnistheorie gewonnenen Ideen auch einzusetzen. Eine Gelegenheit ergab sich, als mich ein interessierter Mathematiklehrer eines Gymnasiums an seinem Unterricht teilnehmen liess. Es handelte sich um eine Klasse, die der Lehrer als schwierig erlebte. Ich versuchte zuerst einmal ein Gef\u00fchl f\u00fcr die Situation in dieser Klasse zu bekommen und beobachtete einfach einmal das Geschehen. In der Pause und w\u00e4hrend die Sch\u00fcler f\u00fcr sich allein arbeiteten f\u00fchrte ich verschiedene Gespr\u00e4che. Daraus entstand dann schnell eine erste Analyse, die ich damals so formulierte:<\/p>\n

Erste Gespr\u00e4che mit Sch\u00fclern und eigene Erfahrungen f\u00fchren zu einer ersten Vermutung \u00fcber die Unterschiede zwischen „problemfreien“ Mathematiksch\u00fclern und „Mathematikversagern“. Die ersten scheinen \u00fcber ein hierarchisches System von Verfahrensregeln zu verf\u00fcgen, die es ihnen erlauben mit relativ wenig Wissen – wenig in Bezug auf den notwendigen Speicherplatz – eine grosse Menge von Aufgaben zu l\u00f6sen. Die „Versager“ dagegen scheinen in m\u00fchevoller Kleinarbeit Einzelf\u00e4lle auswendig zu lernen. Das Wissen der „Versager“ w\u00e4re zu vergleichen mit dem Zustand des Wissens \u00fcber die L\u00f6sungen von Gleichungen etwa in den ersten nachchristlichen Jahrhunderten. Damals waren keine allgemeine Prinzipien f\u00fcr L\u00f6sungsverfahren bekannt, genauso wenig wie eine einheitliche Notation. Das vorhandene Wissen bestand in einer umfangreichen Sammlung von Einzelf\u00e4llen, f\u00fcr die unerm\u00fcdliche Bastler eine L\u00f6sung gefunden hatten. Jede neue Gleichung war damals ein vollst\u00e4ndig neues Problem, bei dem das Wissen \u00fcber L\u00f6sungen in anderen F\u00e4llen kaum weiter half. Heute – und das w\u00fcrde der Wissensstruktur der „Problemfreien“ entsprechen – ist das Aufl\u00f6sen von Gleichungen keine grosse Sache mehr. Eine geeignete Schreibweise erledigt schon fast alles und der Rest l\u00e4sst sich in ein paar wenigen Anweisungen zusammenfassen.<\/p>\n

Diese Beobachtung gibt zu folgender \u00dcberlegung Anlass: Offenbar lassen sich (zumindest) zwei Arten von Lernen unterscheiden; Einerseits ein Lernen von S-R Verbindungen, so wie sich die Behavioristen das Lernen vorstellen; andererseits ein Lernen, dass sich als Entwicklung von handlungsleitenden Schemata – durch Akkomodation und Assimilation – darstellen l\u00e4sst, so wie etwa Piaget die Entwicklung der Intelligenz beschreibt. Ich will versuchen in einer kurzen Charakterisierung die mir wesentlichen und hier relevanten Unterschiede herausstreichen.<\/p>\n

Lernen durch Konditionieren (Wissen 1. Art)<\/strong>: Lerninhalte sind S-R Verbindungen, die dem Individuum ein Reagieren auf bestimmte Stimuli erlauben. Welche S-R Verbindungen aufgebaut werden sollen, wird durch irgend eine dem Lerner externe Instanz entschieden. Im Fall Schule ist dies der Lehrer, der festlegt, dass bestimmte S-R Verbindung sinnvoll sind. Sinn erhalten sie f\u00fcr den Sch\u00fcler nur dadurch, dass er f\u00fcr die Internalisierung dieser Regel belohnt wird. Charakteristisch f\u00fcr diese Art von Wissen ist :<\/p>\n

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  1. Passivit\u00e4t<\/strong>: Der Besitzer einer S-R Verbindung kann damit nicht viel mehr anfangen, als auf das Auftreten des Stimulus zu warten.<\/li>\n<\/ol>\n
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    1. Zusammenhangslosigkeit<\/strong>: S-R Verbindungen sind in sich geschlossene Gebilde; zwischen ihnen sind keine Verbindungen vorgesehen und lassen sich auch kaum herstellen.<\/li>\n<\/ol>\n
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      1. Tr\u00e4gheit<\/strong>: Aus a) und b) ergibt sich, dass sich dieses Wissen kaum weiterentwickelt in dem Sinn, dass ein hierarchisches Geb\u00e4ude entsteht, das Gruppen von S-R Verbindungen zusammenfasst und allgemeineren Prinzipien unterstellt, denn dazu sind die einzelnen Verbindungen zu isoliert und ihr Besitzer ist zu passiv.<\/li>\n<\/ol>\n
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        1. Gesetzt<\/strong>: Ankonditioniertes Wissen wird als von aussen gegeben erfahren (entweder durch eine Autorit\u00e4tsperson oder durch die Natur als oberste Autorit\u00e4t in Form von Naturgesetzen).<\/li>\n<\/ol>\n

          Lernen durch Akkomodation\/Assimilation (Wissen 2. Art)<\/strong>: Lerninhalte – oder besser Wissensinhalte, denn anders als beim Konditionieren ist hier das, was hereinkommt (Lerninhalt), und das, was gewusst wird, nicht identisch – sind Schemata (Piaget) bzw. Modelle, die eine regelgeleitete Selbststeuerung des Individuums gestatten. Diese Modelle erarbeitet sich das Individuum selbst und zwar dadurch, dass es bereits vorhandene Modelle, die sich in bestimmten Punkten als inad\u00e4quat erweisen, in diesen Punkten erweitert und neuen Gegebenheiten anpasst. Die Funktion des Lehrers liegt hier v.a. darin, den Sch\u00fcler mit neuen Problemen zu konfrontieren und Tipps zu geben, in welcher Richtung eine m\u00f6gliche Modellerweiterung liegt. Charakteristisch f\u00fcr diese Art von Wissen ist :<\/p>\n

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          1. Eigendynamik<\/strong>: Jede Akkomodation des Modells erweitert den Horizont und f\u00fchrt damit unweigerlich zu neuen „Problemen“, die eine weitere Akkomodation notwendig machen. Dabei ist jede Akkomodation eine eigenst\u00e4ndige Leistung des Subjekts, da es ja nicht einfach einen neuen Inhalt abspeichert, sondern sein eigenes Modell, das nur ihm im Detail zug\u00e4nglich ist, erweitert.<\/li>\n<\/ol>\n
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            1. Zusammenh\u00e4ngend<\/strong>: Schemata k\u00f6nnen gr\u00f6ssere Wissensgebiete zusammenh\u00e4ngend erfassen.<\/li>\n<\/ol>\n
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              1. Erarbeitet<\/strong>: So geartetes Wissen wird vom Subjekt als eigenst\u00e4ndige Leistung in der Umweltbew\u00e4ltigung empfunden.<\/li>\n<\/ol>\n

                Beide Arten von Wissen haben ihre Vor- und Nachteile. Wissen 1. Art (ankonditioniert) kann relativ schnell erworben werden. Der Lernvorgang ist \u00e4usserst \u00f6konomisch, wenn es darum geht f\u00fcr eine bestimmte Gelegenheit praktisch automatische Reaktionen auf einen Stimulus zu erreichen und der Zusammenhang keine grosse Rolle spielt (z.B. Lernen eines uninteressanten Stoffs auf eine Pr\u00fcfung, bei der es nur darauf ankommt auf eine Frage blitzschnell die dem Lehrer genehme Antwort zu produzieren). Es wird schnell wieder vergessen, wenn es nicht in Gebrauch ist, was ein Vorteil (s. Pr\u00fcfung) oder auch ein Nachteil sein kann. Nachteile sind unter Umst\u00e4nden die oben erw\u00e4hnte Passivit\u00e4t und Zusammenhangslosigkeit. Zudem stellen auch schon kleine Variationen im Stimulus ein Problem dar, weil wegen der Isoliertheit der einzelnen S-R Verbindungen kein \u00fcbergeordnetes Konzept die Entscheidung leiten kann, ob die Reaktion noch ausgel\u00f6st werden soll oder nicht.<\/p>\n

                Ein Nachteil des Wissens 2. Art ist, dass es sich kaum so leicht von einem Tag auf den anderen erwerben l\u00e4sst, sondern einen langwierigen Bildungsprozess erfordert. Es stellt hohe Anforderungen an den Lehrer, dem es gelingen muss, den Prozess im Sch\u00fcler in Gang zu halten, ohne dass er durch \u00dcberforderung abbricht. Es sind das eigene Tempo des Sch\u00fclers sowie seine L\u00f6sungsvarianten zu respektieren. Vorteile sind, dass dieses Wissen in der Pers\u00f6nlichkeitsstruktur verankert wird und somit nicht so schnell wieder vergessen geht, sondern im Gegenteil immer weiter entwickelt wird. Die Motivation ist intrinsisch und die Haltung gegen\u00fcber Neuem ist nicht wie beim Wissen erster Art Hilflosigkeit – “ das haben wir noch nicht gehabt“- sondern Neugierde.<\/p>\n

                Mathematik – und auch Physik – auf Mittelschulniveau zeichnen sich nun dadurch aus, dass im Grunde genommen sehr wenige Prinzipien, Regeln oder Gesetze den ganzen Stoff abdecken. Das will nicht heissen, dass diese F\u00e4cher wenig zu tun g\u00e4ben; keinesfalls, denn die Aneignung dieser wenigen Regeln ist recht zeitraubend. Aber wenn man den Stoff niederschreibt, dann l\u00e4sst sich das Ganze auf ein paar wenigen Seiten niederlegen, wie z.\u00a0B. die einf\u00fchrenden Kapitel entsprechender Lehrb\u00fccher auf Universit\u00e4tsstufe zeigen. Diesen wenigen Regeln stehen eine Unmenge von Anwendungsbeispielen und Problemen gegen\u00fcber, die sich damit bearbeiten lassen und die an der Oberfl\u00e4che die verschiedensten Formen und Inhalte zeigen. Wahrscheinlich ist in keinem Fach die Diskrepanz zwischen der oberfl\u00e4chlicher Formenf\u00fclle der zu bearbeitenden Aufgaben und der zugrunde liegenden „Einfachheit“ der Strukturen so gross. Etwa in den Sprachf\u00e4chern kennt im Gegensatz zur Mathematik jede Regel ihre Ausnahmen, die auch ein gut organisiertes Wissen rein dem Umfang nach vergr\u00f6ssern.<\/p>\n

                Das f\u00fchrt dazu, dass in Mathematik Sch\u00fcler mit Wissen 1. Art gegen\u00fcber Sch\u00fclern mit Wissen 2. Art extrem im Nachteil sind, was die Menge und \u00dcbersichtlichkeit des Wissensstoffes betrifft. Den Sch\u00fclern mit Wissen 2. Art stehen ein paar absolut verl\u00e4ssliche Prinzipien zur Verf\u00fcgung, die – hierarchisch geordnet – ihr Verhalten steuern k\u00f6nnen und ihnen erlauben, prinzipiell mit einigem Vertrauen jede Aufgabe anzugehen. Oft wird eine solche Aufgabe im ersten Augenblick vollkommen unvertraut erscheinen, aber sie k\u00f6nnen sich langsam hineinarbeiten.<\/p>\n

                Sch\u00fcler mit Wissen 1. Art hingegen stehen vor einem Berg von \u00dcbungsbeispielen, die an der Oberfl\u00e4che alle ganz anders aussehen. Nur selten taucht etwas auf, das einem schon gel\u00f6sten Beispiel gleicht. Als Pr\u00fcfungsvorbereitung bleibt ihnen nur eine Unmenge von Aufgaben zu bearbeiten in der Hoffnung, die eine oder andere werde in der Pr\u00fcfung auch auftauchen.<\/p>\n

                Die Gr\u00fcnde, warum bestimmte Sch\u00fcler eher Wissen der 1. oder der 2. Art aufbauen, m\u00f6gen verschieden sein. Klar ist aber, dass die Lehrenden im Mathematikunterricht versuchen sollten, Wissen der 2. Art aufzubauen. Anregungen dazu, wie dies geschehen k\u00f6nnte, findet man etwa in den Arbeiten von Martin Wagenschein. Wagenschein hat sich mit der Lehrerausbildung besch\u00e4ftigt und hat v.a. zur Physikdidaktik einiges erarbeitet und ver\u00f6ffentlicht (z.B. Wagenschein, 1962, 1975). Er bezieht sich bei seinen Betrachtungen nicht (oder selten) direkt auf Piaget, k\u00f6nnte das aber durchaus tun.<\/p>\n

                Um das Problem zu illustrieren, zitiert er an einer Stelle eine kleine Umfrage unter Universit\u00e4tsstudenten im ersten Semester. Von 28 k\u00f6nnen auf die Frage „Wo h\u00f6rt denn eigentlich die Erdanziehung auf“ nur 3 eine befriedigende Antwort geben. Der H\u00e4lfte der anderen f\u00e4llt dazu gar nichts ein und der Rest gibt Antworten wie „Ausserhalb der Atmosph\u00e4re“. (Wagenschein, 1962, S. 112) (Eine kleine, absolut nicht repr\u00e4sentative Befragung meinerseits von Absolventen eben des Gymnasiums, in dem ich meine Beobachtungen machte, ergab \u00e4hnliche Resultate. Das Ph\u00e4nomen ist weit verbreitet und wird unter dem Begriff der „naiven Physik“ diskutiert, vgl. etwa McCloskey, 1983)<\/p>\n

                Wagenscheins Erkl\u00e4rung daf\u00fcr ist, dass diese Sch\u00fcler einfach unter Druck gelernt hatten auf Befehl die Formel „F = G m1<\/sub>m2<\/sub> \/ r2<\/sup>“ zu reproduzieren. Dahinter steckt aber keine Einsicht. Die alte Vorstellung „Die Anziehungskraft der Erde h\u00f6rt ausserhalb der Atmosph\u00e4re auf“, die sie vielleicht schon als 12-j\u00e4hrige hatten, besteht weiter. F\u00e4llt dann der Druck weg, dann kommt sie wieder zum Vorschein. F\u00fcr den Unterricht bedeutet das:<\/p>\n