![\"Turm](\"http:\/\/www.hrkll.ch\/typo\/fileadmin\/bilder\/Hanoi\/toh5.gif\")
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In der Urversion werden als Material etwa f\u00fcnf bis sechs gelochte Scheiben unterschiedlicher Gr\u00f6sse verwendet. Diese Scheiben stecken zu Beginn der Gr\u00f6sse nach geordnet auf einem Pflock, so dass sich die gr\u00f6sste Scheibe zuunterst befindet. Zus\u00e4tzlich sind noch zwei weitere, zu Beginn leere Pfl\u00f6cke vorhanden. Die Aufgabe besteht nun darin, den ganzen Scheibenstapel vom Startpflock auf einen der anderen Pfl\u00f6cke, den Zielpflock, umzuschichten. Dabei m\u00fcssen folgende Regeln eingehalten werden: 1) Aufs Mal darf immer nur eine Scheibe von einem Pflock auf einen der anderen Pfl\u00f6cke umgelegt werden, und 2) es darf nie eine gr\u00f6ssere Scheibe auf eine kleiner zu liegen kommen. Das Problem besteht also darin, den dritten Pflock geschickt als Ausweichstelle zu benutzen, so dass der ganze Umbau m\u00f6glich wird.<\/p>\n
Formale Aspekte der Aufgabe<\/h1>\n
Werden n Scheiben verwendet, dann betr\u00e4gt die Anzahl notwendiger Bewegungen 2n<\/sup>-1. Sie verdoppelt sich also in etwa mit jeder zus\u00e4tzlichen Scheibe. Bei 3 Scheiben gen\u00fcgen 7 Bewegungen. Bei 6 Scheiben sind bereits 63 Bewegungen notwendig. F\u00fcr psychologische Experimente bedeutet das, dass man den zur L\u00f6sung notwendigen Aufwand, die Gefahr, dass jemand einen Fehler macht und die Wahrscheinlichkeit, dass die Aufgabe durch Zufall l\u00f6st, sehr einfach in einem sehr grossen Bereich variieren kann.<\/p>\n Die Aufgabe l\u00e4sst sich leicht in zwei Aufgaben zerlegen. Es seinen f\u00fcnf Scheiben auf dem ersten Posten und diese sollen alle auf den dritten Pfosten verschoben werden. Dann muss man dazu zuerst die vier oberen Scheiben auf den zweiten Pfosten transportieren, dadurch wird die gr\u00f6sste Scheibe frei und kann auf den dritten Pfosten verschoben werden, und abschliessend m\u00fcssen dann noch die vier Scheiben von zweiten Posten ebenfalls auf den dritten Pfosten. Beherrscht man also die Aufgabe mit vier Scheiben, dann ist die Aufgabe mit f\u00fcnf Scheiben kein Problem mehr. Das gilt nat\u00fcrlich f\u00fcr jede Anzahl Scheiben, d.h. jede Aufgabe l\u00e4sst sich sukzessive auf immer einfachere Aufgaben reduzieren, bis nur noch die triviale Aufgabe bleibt, eine einzige Scheibe von einem Pfosten auf einen anderen zu bewegen. Der Turm von Hanoi taucht deshalb in Lehrb\u00fccher zum Programmieren immer wieder als Aufgabe auf, anhand der die Prinzipien rekursiver Programmstrukturen ge\u00fcbt werden k\u00f6nnen (z.B. Winston & Horn, 1981).<\/p>\n Wegen der rekursiven Struktur der Aufgabe l\u00e4sst sich der Zustandsraum des Problems sehr sch\u00f6n regelm\u00e4ssig darstellen. Ein Bild des Zustandsraums erh\u00e4lt man, indem man zuerst einmal f\u00fcr jede m\u00f6gliche Art, wie die Scheiben auf die drei Pfosten verteilt sein k\u00f6nnen, einen Punkt zeichnet. Dann verbindet man immer zwei Punkte mit einer Linie, wenn diese beiden Punkte zwei Zust\u00e4nden entsprechen, die durch das Bewegen einer Scheibe ineinander \u00fcbergef\u00fchrt werden k\u00f6nnen. Im einfachste Fall – mit einer Scheibe – ist der Zustandsraum ein Dreieck. F\u00fcgt man eine zweite Scheibe hinzu, zeigen sich die Bewegungen der kleineren Scheibe als Dreiecke im Dreieck der Bewegungen der gr\u00f6sseren Scheibe. Hat man den Zustandsraum aufgezeichnet, wird die Bew\u00e4ltigung der Aufgabe deutlich vereinfacht.<\/p>\n Rekursive H\u00f6hlenlabyrinthe<\/strong>: Der Zustandsraum des Turm von Hanoi ist identisch mit dem Plan einer rekursiven H\u00f6hle<\/a> mit drei Ausg\u00e4ngen pro H\u00f6hle. Die Anzahl Scheiben entspricht der Ersetzungstiefe. W\u00fcrde man also in jeder H\u00f6hle ein Modell des Turms von Hanoi im entsprechenden Zustand aufstellen und w\u00fcrde man bei den Ausg\u00e4ngen anschreiben, welcher Scheibenbewegung sie entsprechen, k\u00f6nnte jemand anhand seines Wissens \u00fcber der Turm von Hanoi den Weg zu Ausgang planen.<\/p>\n Diese Analogie besteht aber nur zwischen dem originalen Turm von Hanoi mit drei Pfosten und der rekursiven H\u00f6hle mit drei Ausg\u00e4ngen. Der Zustandsraum des Turms von Hanoi mit vier Pfosten hat dann aber bereits viel mehr Verbindungen zwischen den einzelnen Zust\u00e4nden, als im rekursiven H\u00f6hlenlabyrinth mit vier Ausg\u00e4ngen pro H\u00f6hle vorkommen.<\/p>\n B\u00e4lle jonglieren<\/strong>: Kotovsky, Hayes & Simon (1976) verwendeten in ihren Untersuchungen eine ganze Reihe von Aufgaben mit Zustandsr\u00e4umen, die identisch mit dem des Turm von Hanoi waren. Eine davon beschreiben sie etwa wie folgt: „Drei f\u00fcnfh\u00e4ndige ausserirdische Monster hielten in ihren H\u00e4nden drei Kristallkugeln. Wegen der quantentheoretischen Eigenarten ihrer Welt gibt es solche Monster und solche Kristallkugeln nur genau in drei verschiedenen Gr\u00f6ssen: klein, mittel und gross. Das kleine Monster hielt die grosse Kugel, das mittlere Monster die kleine Kugel und das grosse Monster die mittlere Kugel. Da diese Situation ihrem ausgepr\u00e4gten Sinn f\u00fcr Symmetrie widersprach, beschlossen sie die Kugeln von Monster zu Monster weiterzugeben bis jedes Monster die Kugel entsprechend seiner Gr\u00f6sse in H\u00e4nden hielt. Allerdings konnte das nicht auf beliebige Art geschehen, sondern es mussten die unter Monstern \u00fcblichen Umgangsformen eingehalten werden: 1) Es darf immer nur eine Kugel aufs mal bewegt werden. 2) Wenn ein Monster gleichzeitig mehrere Kugeln in den H\u00e4nden h\u00e4lt, darf nur die gr\u00f6sste dieser Kugeln weitergegeben werden. 3) Ein Kugel darf nicht einem Monster \u00fcbergeben werden, dass bereits eine noch gr\u00f6ssere Kugel in den H\u00e4nden h\u00e4lt.“<\/p>\n Eine etwas zuf\u00e4llige Liste von Arbeiten, die sich alle auf die eine oder andere Art mit dem Turm von Hanoi besch\u00e4ftigen.<\/p>\n Wikipdia: Tower of Hanoi Mathematische Basteleinen: Der Turm von Hanoi: Eine einfache Einf\u00fchrung in die optimale Strategie und etwas mathematischen Hintergrund Tower of Hanoi (TH) Puzzle: Verschiedene kleine Programme, entweder zu selber Spielen oder zum Zuschauen. Unterdessen ist Tower of Hanoi auch als App f\u00fcr Smartphones verf\u00fcgbar.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Der „Turm von Hanoi“ ist eine Denksportaufgabe. Sie war immer wieder Gegenstand zahlreicher Untersuchungen einerseits der Denk- und Lernpsychologie, andererseits der KI (K\u00fcnstliche Intelligenz). Sie weist formale Eigenschaften auf, die sie zu einem guten Demonstrationsbeispiel f\u00fcr Techniken der KI macht. … Weiterlesen ![\"Zustandsraum](\"http:\/\/www.hrkll.ch\/typo\/fileadmin\/bilder\/Hanoi\/problemspace1.gif\")
<\/p>\n![\"Zustandsraum](\"http:\/\/www.hrkll.ch\/typo\/fileadmin\/bilder\/Hanoi\/problemspace2.gif\")
<\/p>\nAnaloge Aufgaben<\/h1>\n
Literatur<\/h1>\n
Programmieren<\/h3>\n
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\nIllustriert am „Turm von Hanoi“ als durchgehendes Beispiel allerlei Konzepte des Programmierens; nat\u00fcrlich auch Rekursion.<\/em><\/li>\n
\nKlassisches Lehrbuch der LISP-Programmierung; „Turm von Hanoi“ als ein Beispiel.<\/em><\/li>\n<\/ul>\nK\u00fcnstliche Intelligenz<\/h3>\n
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\nProgramme die mit der Zeit lernen, gewisse Aufgaben zu l\u00f6sen, auch den „Turm von Hanoi“.<\/em><\/li>\n
\nDas Programm lernt selbst aufgrund von Versuch und Irrtum, wie man den „Turm von Hanoi“ am besten l\u00f6st.<\/em><\/li>\n<\/ul>\nPsychologie<\/h3>\n
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\nSehr detaillierter Versuch verschiedene Arten zu vergleichen, wie man sich die Aufgabe beim „Turm von Hanoi“ im Kopf zurechtlegen kann.<\/em><\/li>\n
\nDetaillierte Beobachtung der Lernfortschritte einer Versuchsperson.<\/em><\/li>\n
\nDetaillierte Analyse dazu, was es ausmacht, dass gewisse Aufgaben sehr schwierig sind.<\/em><\/li>\n
\nLassen Versuchspersonen Probleme l\u00f6sen, die analog zum „Turm von Hanoi“ strukturiert sind. Finden kaum Transfer.<\/em><\/li>\n
\nReanalyse der Vp von Anzai & Simon (1979); sehr gut und detailliert.<\/em><\/li>\n<\/ul>\nLinks<\/h3>\n
\nhttp:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Tower_of_Hanoi<\/a><\/p>\n
\nwww.mathematische-basteleien.de\/hanoi.htm<\/a><\/p>\n
\nhanoitower.mkolar.org<\/a><\/p>\n