pdf <\/a>Sven Basendowski hat in seinen Untersuchungen zur Relevanz mathematischer Kompetenzen im beruflichen Umfeld (Basendowski 2013) eine n\u00fctzliche Unterscheidung eingef\u00fchrt. Er unterscheidet zwischen:<\/p>\n Mathematik betreiben<\/em><\/strong> vor allem Mathematiker und Mathematikerinnen. In den allgemeinbildenden Schulen versucht man den Lernenden ein Gef\u00fchl daf\u00fcr zu vermitteln, wie spannend das sein kann und wie viel Spass das machen kann. Bspw. ist es so, dass wenn man mit 1 beginnt und immer gr\u00f6ssere ungerade Zahlen dazu addiert, jede dieser Summen eine Quadratzahl ist: 1 = 12<\/sup>; 1 +3 = 4 = 22<\/sup>; 1 + 3 + 5 = 9 = 32<\/sup>; usw. Zu untersuchen, warum das so ist, ist Mathematik betreiben.<\/em><\/p>\n Mathematik anwenden<\/em><\/strong>, das machen Lernende in der Schule, wenn sie zu \u00dcbungszwecken Textaufgaben l\u00f6sen, wie etwa die folgende Aufgabe: Der Schacht eines Bergwerks geht senkrecht nach unten bis auf 300m unter Meeresh\u00f6he; der Eingang zum Schacht liegt auf 100m \u00fcber Meer; wie lange muss das Seil f\u00fcr den Grubenaufzug sein, damit es bis ganz nach unten reicht?<\/em> Gute Lernende wissen, dass das eine \u00dcbung im Umgang mit negativen Zahlen ist, dass man 100m – (-300m) rechnen soll und dass das gesuchte Resultat exakt 400m ist.<\/p>\n Mathematik gebrauchen<\/em><\/strong>, das haben Uwe und Anton versucht, die im Rahmen einer Untersuchung diese Aufgabe zur Seill\u00e4nge zu l\u00f6sen hatten und daran scheiterten. Sie haben sich in eine Diskussion dar\u00fcber verstrickt, ob die Tatsache, dass der Aufzug ja oben ganz aus dem Schacht herauskommen muss, damit man ein- und aussteigen kann, bei der Berechnung ber\u00fccksichtigt werden muss. Sie haben versucht herauszufinden, wie lange das Seil tats\u00e4chlich sein muss, wenn man es real einsetzen m\u00f6chte.<\/p>\n Die Diskussion, welche Uwe und Anton gef\u00fchrt haben, ist typisch daf\u00fcr, wenn es darum geht, Mathematik zu gebrauchen<\/em>. Bez\u00fcglich der Differenz zwischen -300 und +100 liefert zwar die Mathematik ein eindeutiges Resultat. Gebrauchen kann man dieses Resultat aber nur, wenn man je nach Gebrauchssituation verschiedenste Zusatz\u00fcberlegungen anstellt: Oben muss der Aufzug ganz aus dem Schacht heraus, richtig! Aber das Seil ist ja am Deckel der Aufzugskabine angemacht, muss also nicht ganz bis zum Grund des Schachtes reichen, das kompensiert sich! Ja, aber es k\u00f6nnte sein, dass die Rolle, auf der das Seil aufgewickelt ist, so angebracht ist, dass noch etwas freies Seil bleibt, wenn der Aufzug oben stoppt! Zudem braucht es etwas zus\u00e4tzliches Seil um dieses sowohl an der Kabine wie an der Rolle festzumachen! Sicher, aber das Seil wird durch das Gewicht der Kabine etwas gedehnt, braucht also aufgewickelt nicht ganz so lang zu sein! \u2026<\/p>\n Beim Mathematik gebrauchen<\/em> sind Erfahrungen mit der Gebrauchssituation von zentraler Bedeutung, die einzusch\u00e4tzen erlauben, wie ein \u201emathematisches\u201c Resultat im Kontext interpretiert werden muss. Dar\u00fcber hinaus braucht es weiter die Sicherheit, dass man sich auf die Resultate der Mathematik \u2013 richtig interpretiert \u2013 verlassen kann. Dazu auch ein Beispiel:<\/p>\n Kleine Kinder z\u00e4hlen beim Rechnen. Ein ganz wichtiger Schritt bei der mathematischen Kompetenzentwicklung ist, dass sie \u00fcber diese Phase hinauskommen. Sie m\u00fcssen sich Zahlenfakten merken, ein Zahlenverst\u00e4ndnis entwickeln etc. Viele Erwachsene, v.a. wenn sie Lehrinnen oder Lehrer sind, haben diesen Schritt selbstverst\u00e4ndlich gemacht. Wenn Lehrpersonen aber an eine Weiterbildung gehen, die bspw. vom 2. M\u00e4rz bis zum 7. M\u00e4rz dauert, ermitteln alle die Anzahl der zu buchenden \u00dcbernachtungen z\u00e4hlenderweise \u2013 mittels der Finger oder durch Abz\u00e4hlen in der Agenda. Dabei w\u00e4re das Resultat durch eine einfache Subtraktion zu haben: 7 \u2013 2 = 5. Praktisch jedermann (mir auch) fehlt das Vertrauen darin, dass das wirklich funktioniert.<\/p>\n In anderen Situationen, wie etwa, wenn ich von 7 Gummib\u00e4rchen 2 esse, ist dieses Vertrauen da, ist die Fertigkeit zu subtrahieren \u00fcber Vorstellungen und Erfahrungen fest in der Situation verankert. Um im Kontext \u00dcbernachtungen buchen<\/em> auch sicher mit Subtraktionen zu operieren, m\u00fcssten diese zuerst auch hier verankert, situiert werden (vgl. <\/em>Wissensaufbau von den F\u00fcssen her<\/em><\/a>).<\/p>\n Handlungskompetenzen im Sinne des sicheren Gebrauchs von Mathematik<\/em> im berufliche wie auch im allt\u00e4glichen Kontext, sind Situierte Kompetenzen<\/a>. Das ben\u00f6tigte Wissen besteht einerseits aus Ressourcen, d.h. theoretische Konzepte aber auch praktische Fertigkeiten, wie etwa die Fertigkeit 100m – (-300m) zu berechnen. Andererseits umfasst es Erfahrungen mit dem Gebrauchskontext, welche es erlauben, diese Ressourcen situationsgerecht einzusetzen.<\/p>\n Etwas plakativ kann man daraus eine Arbeitsteilung der verschiedenen Schulstufen ableiten:<\/p>\n (vgl. auch Wissen aufbauen<\/a>)<\/p>\n Mit etwa f\u00fcnf Lektionen Fachkunde pro Woche, in denen das gesamte f\u00fcr einen Beruf relevante Fachwissen behandelt wird, kann die Berufsbildung kaum neue mathematische Ressourcen aufbauen. Sie muss darauf bauen k\u00f6nnen, dass diese in den ersten neun Schuljahren erworben werden (vgl. Abschnitt 3 unten zur Frage, welche Ressourcen gefragt sind).<\/p>\n Ressourcen, das sind einerseits Konzepte wie ein elaboriertes Zahlenverst\u00e4ndnis oder ein Verst\u00e4ndnis proportionaler Zusammenh\u00e4nge. Andererseits geht es dabei aber auch um Fertigkeiten wie das Durchf\u00fchren von Berechnungen oder die Darstellung von Zusammenh\u00e4ngen mit Hilfe symbolischer Mittel.<\/p>\n Ressourcen kann man nicht im luftleeren Raum erwerben. Hier erh\u00e4lt das, was Basendowski (2013) mit Mathematik anwenden<\/em> meint, seine Bedeutung. In der Terminologie des IML<\/a> geht es dabei v.a. um die\u00a0Lernbausteine<\/a> Durcharbeiten, Prozeduralisieren<\/em> und Optimieren<\/em>. Sie arbeiten alle mit Beispielen und Aufgaben, bei denen die zu erwerbenden Ressourcen \u201ew\u00f6rtlich\u201c angewendet werden k\u00f6nnen. Halbschriftliches Rechnen zu \u00fcben ist bspw. nur dann sinnvoll m\u00f6glich, wenn die dazu verwendeten Aufgaben tats\u00e4chlich genau mit dem Vorgehen, das ge\u00fcbt werden soll, gel\u00f6st werden k\u00f6nnen.<\/p>\n Aufgaben wie die oben erw\u00e4hnte zur L\u00e4nge des Aufzugsseils sind in diesem Zusammenhang gef\u00e4hrlich. Starke (bildungsnahe) Lernende werden sie korrekt als eine Aufforderung verstehen, Mathematik anzuwenden<\/em>, und die Details ignorieren, die Uwe und Anton diskutieren.\u00a0 \u201eSchw\u00e4chere\u201c Lernende, welche die Absicht hinter der Aufgabe nicht erkennen, k\u00f6nnen dagegen in Versuchung geraten, die Mathematik gebrauchen<\/em> zu wollen und scheitern am Lernziel des Ressourcenaufbaus, da in den meisten F\u00e4llen beim Mathematik gebrauchen<\/em> die Ressourcen nicht \u201ew\u00f6rtlich\u201c verwendet werden k\u00f6nnen.<\/p>\n Sind die notwendigen Ressourcen vorhanden, dann besteht die Aufgabe der Berufsbildung, den Lernenden zu helfen, diese Ressourcen in den f\u00fcr sie neuen beruflichen Kontexten zu situieren. Dazu haben wir ein geeignetes didaktisches Instrumentarium entwickelt (vgl. Abschnitt 4 unten; aber auch Didaktisches Grundmodell<\/a>). Als Lehrpersonen sind daher nicht Mathematikerinnen oder Mathematikdidaktiker gefragt, sondern erfahrene Fachpersonen, welche die verschiedenen Gebrauchssituationen und ihre Eigenarten genau kennen.<\/p>\n Die im beruflichen Kontext ben\u00f6tigten Ressourcen sollten bei den Lernenden eigentlich vorhanden sein, da kaum etwas ben\u00f6tigt wird, was \u00fcber den Stoff der siebten Klasse hinausgeht (Heymann 1996; Smith 1999). Unsere eigenen Erfahrungen zeigen, dass dies tats\u00e4chlich auch der Fall ist (bspw. Eintrittstests und situiertes Lernen<\/a>).<\/p>\n Die \u00fcberall und immer wieder zu h\u00f6rende Klage, dass die Lernenden beim Eintritt in die Berufsbildung nicht rechnen k\u00f6nnen, d\u00fcrfte eine Folge unerf\u00fcllbarer Erwartungen sein. Verschiedene die Akteure in der Berufsbildung erwarten f\u00e4lschlicherweise, dass die Lernenden ohne weiteres die vorhandenen Ressourcen auch in den neuen, ihnen unvertrauten Kontexten des Berufslebens einsetzen k\u00f6nnen, was grunds\u00e4tzlich nicht m\u00f6glich ist.<\/p>\n Es existieren zwar verschiedene Zusammenstellungen dazu, welche Ressourcen im Berufsschulunterricht zur Anwendung<\/em> gelangen (bspw. Stiftung Rechnen 2015, oder Kompetenzenraster Mathematik des Berfufsbildungszentrums IDM<\/a>)<\/p>\n Leider findet man aber keine gut abgesicherte Zusammenstellung der mathematischen Ressourcen, welche in der berufliche Praxis gebraucht<\/em> werden. Es d\u00fcrfte auch nicht ganz einfach sein, eine solche erarbeiten, da die verschiedenen Berufe unterschiedliche Anforderungen stellen. Im Prinzip liegt hier ein Forschungsgebiet brach, das dringend seiner Bearbeitung harrt.<\/p>\n Als Basis f\u00fcr eine Einsch\u00e4tzung dienen hier ersatzweise Erfahrungen, die im Zusammenhang mit verschiedenen Projekten und unterschiedlichen Berufen gewonnen wurden (vgl. Beispiele<\/a>). Folgende Ressourcen d\u00fcrften vor allem gebraucht werden:<\/p>\n Die Ressourcen sind hier grob ihrer Bedeutung nach absteigend geordnet. Einige Anmerkungen zu den einzelnen Punkten:<\/p>\n H\u00e4ufiger als dass sie berechnet werden, werden ben\u00f6tigte Werte in Wertetabellen<\/strong> nachgeschlagen. Manchmal werden sie auch aus entsprechenden Graphiken<\/strong> herausgelesen. Die verwendeten Tabellen sind oft sehr un\u00fcbersichtlich organisiert und nicht einfach zu lesen. Es ist allerdings zu erwarten, dass mit zunehmender Digitalisierung solche Wertetabellen zunehmend verschwinden werden, so wie der Taschenrechner l\u00e4ngst die Logarithmentafel ersetzt hat.<\/p>\n So gut wie immer, wenn im beruflichen Alltag Berechnungen anfallen, geht es um einfache Proportionalit\u00e4t<\/strong>: \u201eWenn ich doppelt so viele G\u00e4ste habe, brauche ich doppelt so viel Reis\u201c, \u201eWenn das Strassenst\u00fcck halb so lange ist, ben\u00f6tigen wir halb so viel Belagsmaterial\u201c etc. Vor allem, wenn naturwissenschaftliche Grundlagen eine Rolle spielen, tritt auch indirekte Proportionalit\u00e4t auf, da sehr viele naturwissenschaftliche Grundgesetze \u00e4hnlich wie \u201eU\u00a0=\u00a0R\u00a0\u00d7\u00a0I\u201c drei Gr\u00f6ssen in einen Zusammenhang stellen: \u201eWenn die Spannung (U) gleich bleibt und ich den Strom (I) halbieren will, muss ich den Widerstand (R) verdoppeln\u201c.<\/p>\n Sehr h\u00e4ufig findet man auch, dass Angaben zu einer Gr\u00f6sse relativ zu einer Bezugsgr\u00f6sse gemacht werden m\u00fcssen, und dass diese Angaben in Prozent oder Promille<\/strong> ausgedr\u00fcckt werden. Naheliegend sind Beispiele wie \u201eEin vollfetter K\u00e4se enth\u00e4lt 50% Fett in der Trockenmasse\u201c. In diesem h\u00e4ufigsten Fall In den Beispielen liegt der Prozentsatz immer zwischen 0% und 100% und das, was mit dem Prozentwert gemessen wird (die Menge Fett), ist immer ein echter Teil dessen, was mit dem Grundwert gemessen wird (die Trockenmasse). Es gibt aber auch andere Arten des Bezugs. Am gel\u00e4ufigsten ist die Angabe von Steigungen in % oder auch \u2030. Hier ist der H\u00f6henunterschied (Prozentwert) keineswegs ein \u201eTeil\u201c der horizontalen Distanz (dem Grundwert). Ein weniger bekanntes Beispiel w\u00e4ren die \u201eB\u00e4ckerprozente\u201c: In professionellen Brotrezepten werden die Zutaten in % relativ zur Mehlmenge angegeben (also beispielsweise 76% Wasser). Der fertige Teig ist typischerweise etwa 180%.<\/p>\n Ebenfalls h\u00e4ufig findet man Angaben der Form \u201eX pro Y<\/strong>\u201c. B\u00e4uerinnen fahren mit dem Ziel \u00fcber das Feld 50 kg N\u00e4hrstoff pro ha auszutragen. Reinigungsangestellte verwenden 200ml konzentriertes Reinigungsmittel auf 5 Liter Wasser etc. Diese Verh\u00e4ltnisangaben bieten zwei Schwierigkeiten: Werden sie mit einem \u201eBruchstrich\u201c notiert, wie \u201e60 km\/h\u201c, sind die Lernenden in Versuchung, das Ganze als \u201eBruch\u201c zu interpretieren. h wird zum Nenner. Und 60 km? Die zweite Schwierigkeit liegt darin, dass solche Angaben fiktional sind \u201eWenn ich genau eine Stunde lang fahren w\u00fcrde, w\u00fcrde ich genau 60 km weit fahren\u201c. Diese Interpretation f\u00e4llt nicht allen Lernenden leicht, wie das Beispiel eines jungen Agrarpraktikers zeigt: Nachdem er D\u00fcnger auf einem Feld von 1\/2 ha Fl\u00e4che ausgetragen hat, stellt er fest, dass er ca. 25 kg N\u00e4hrstoff verteilt hat und rechnet dann richtig aus, dass er 50 kg\/ha ausgetragen hat. Seine Reaktion: \u201eJa, aber ich habe doch nur 25 kg verbraucht, das waren keine 50 kg!\u201c<\/p>\n Liegen die Angaben wie bspw. der Durchmesser einer Schraube oder das Gewicht einer Packung Mehl nicht schon vor, m\u00fcssen die ben\u00f6tigten Werte durch eine Messung<\/strong> ermittelt werden. Dabei spielen neben der reinen Fertigkeit, das entsprechende Messger\u00e4t bedienen zu k\u00f6nnen, auch bspw. \u00dcberlegungen zur Auswirkung von Fehlerfortpflanzungen eine Rolle: Wie genau wir meine Messung sein, wenn ich 20m abmesse, indem ich 10 mal hintereinander einen Doppelmeter abtrage?<\/p>\n In vielen Berufen spielt die Zeitplanung<\/strong> f\u00fcr gr\u00f6ssere oder kleinere Arbeitsabschnitte eine Rolle. In der K\u00fcche: Wann muss der Braten in den Ofen, damit er rechtzeitig f\u00fcr das Mittagsmen\u00fc bereit ist? In der spitalexternen Pflege: Wie teile ich mir meinen Nachmittag ein, so dass ich alle Klienten bedient habe und auch noch die anderen anfallenden Arbeiten erledigen kann? Etc. Diese Planungsaufgaben k\u00f6nnen sehr anspruchsvoll sein, vor allem, wenn es darum geht bei knappen Ressourcen Abl\u00e4ufe zu optimieren. Eine Art relative Zeitplanung findet man auch h\u00e4ufig in Form von Ablaufdiagrammen wie Flussdiagrammen etc. Diese treten entweder im Zusammenhang mit Anlagesteuerungen auf oder dann als \u201eProzessbeschreibungen\u201c in unterdessen allgegenw\u00e4rtigen Qualit\u00e4tssicherungssystemen.<\/p>\n H\u00e4ufigkeitsverteilungen<\/strong> treten im beruflichen Kontext typischerweise der Form von Statistiken im Rahmen der Qualit\u00e4tssicherung in gr\u00f6sseren Betrieben auf: \u201eVon 100 Teilen waren im Schnitt 2 defekt.\u201c \u201eDie mittlere Antwortzeit bei telefonischen Anfragen war 47.8 Sekunden mit einer Standardabweichung von 8.9 Sekunden\u201c. Solche Statistiken m\u00fcssen in den meisten F\u00e4llen nicht selbst erstellt werden, sondern werden von automatischen Systemen oder von Experten generiert. Im Rahmen der Qualit\u00e4tssicherung wird aber auch von relativ gering qualifizierten Mitarbeitenden erwartet, dass sie daraus Schl\u00fcsse f\u00fcr ihre Arbeit ziehen k\u00f6nnen. Ebenfalls h\u00e4ufig ist die Verwendung solcher Verteilungen als Normen \u201eDer ideale Blutdruck liegt bei 120 mit einer Spannweite von +\/- 20\u201c, \u201eDie Bolzen m\u00fcssen einen Durchmesser von 1.8mm haben, Standardabweichung 0.05mm\u201c. Auch hier gilt es Schl\u00fcsse zu ziehen, wie etwa bez\u00fcglich der Frage \u201eIst ein einzelner Messwert ausserhalb der Spannweite schon ein Alarmzeichen?\u201c<\/p>\n In allen technischen und baugewerblichen Berufen m\u00fcssen Pl\u00e4ne<\/strong> gelesen und (zumindest als Skizzen) Pl\u00e4ne gezeichnet werden. Auf den allermeisten Pl\u00e4nen findet man nur Rechtecke und Kreise. Andere Formen kommen selten vor. Die Herausforderung im Umgang mit Pl\u00e4nen besteht einerseits darin, sich das Abgebildete r\u00e4umlich vorstellen zu k\u00f6nnen, und andererseits darin, L\u00e4ngen und Koordinaten abzuleiten, die nicht direkt angegeben sind.<\/p>\n Erstaunlich h\u00e4ufig kommen alphanumerische Codes<\/strong> wie bspw. \u201eZimmer <S 2 011>\u201c vor, die entziffert werden m\u00fcssen. Die Zahlen und auch die Buchstaben k\u00f6nnen dabei eine r\u00e4umliche Bedeutung haben, wie hier bei der Zimmernummer. Sie k\u00f6nnen aber auch klassifikatorischer Natur sein und bspw. Hinweise auf Produktegruppen und damit auf Mengenbeziehungen liefern.<\/p>\n Vor allem im Baugewerbe m\u00fcssen Fl\u00e4chen und Volumen<\/strong> berechnet werden. Wie gross ist die Fl\u00e4che des Vorplatzes, der mit einem Belag versehen werden muss? Wie viel m2<\/sup> Aushub fallen bei der Baugrube f\u00fcr dieses Haus an? Die Fl\u00e4chen sind meist gradlinig begrenzt und lassen sich leicht in Rechtecke und Dreiecke zerlegen. Allenfalls kommen noch Kreissegmente dazu. Bei den meisten Volumina gen\u00fcgt es, wenn man die allenfalls etwas komplexere Grundfl\u00e4che mit der H\u00f6he multipliziert.<\/p>\n Ebenfalls im Baugewerbe spielen Winkel<\/strong> eine gewisse Rolle. Diese m\u00fcssen nicht berechnet, sondern konstruiert werden. Ein Maurer setzt eine kleine Mauer rechtwinklig zu einer bestehend Mauer. Ein Zimmerman macht das Dach in der Mitte so hoch, dass die Dachneigung einen gew\u00fcnschten Winkel aufweist. Zwei Mitarbeiter im Tiefbau stellen sicher, dass ein Platz die minimal notwendige Neigung hat, so dass das Regenwasser gut abfliesst. Winkel werden in Grad oder in Prozent (Steigung) angegeben.<\/p>\n Der Unterricht vor dem Eintritt in die Berufsbildung kann kaum dazu beitragen, die Ressourcen in den entsprechenden beruflichen Kontexten zu situieren, da weder die Lernenden noch die Lehrpersonen die entsprechenden Situationen gut genug kennen.<\/p>\n Auf einer Metaebene w\u00e4re es aber n\u00fctzlich, wenn die Lernenden in anderen Kontexten schon das eine oder andere Mal erlebt h\u00e4tten, was es bedeutet, Mathematik zu gebrauchen<\/em>. Die Lernenden w\u00fcssten dann, was auf sie zukommt, wenn sie in der Berufsbildung mit neuen Gebrauchssituationen konfrontiert sind. Sie w\u00fcssten, dass sie zuerst Schwierigkeiten haben werden, ihre vertrauten Ressourcen situationsgerecht einzusetzen. Sie h\u00e4tten aber auch schon die Erfahrung gemacht, dass sie diese Schwierigkeiten \u00fcberwinden k\u00f6nnen.<\/p>\n Didaktisch k\u00f6nnen zumindest auf der Sekundarstufe I dieselben Instrumente eingesetzt werden, die wir f\u00fcr die Berufsbildung erarbeitet haben. Sie eignen sich, um Ressourcen in beliebigen Gebrauchssituationen zu verankern, nicht nur in beruflichen Gebrauchssituationen. Es sind dies:<\/p>\n Eine zentrale Voraussetzung f\u00fcr den Einsatz beider didaktischer Instrumente ist, dass eine Gebrauchssituation gefunden wird, welche den Lernenden vertraut ist und welche das Interesse der Lernenden weckt. Im Rahmen der dualen Berufsbildung ergeben sich diese Situationen zwanglos aus dem beruflichen Alltag, welchen die Lernenden im Betrieb erleben. In Abschnitt 5 unten sind einige Vorschl\u00e4ge zusammengestellt, wie Lehrpersonen auf der Sekundarstufe I zu solchen Situationen gelangen k\u00f6nnten.<\/p>\n Die Acht Schritte <\/em>f\u00fchren in einem Bogen von der Gebrauchssituation \u00fcber verschiedene Zwischenstationen wieder hin zur Gebrauchssituation. Am Anfang stehen die bisherigen Erfahrungen der Lernenden bez\u00fcglich der Gebrauchssituation. Am Ende sind die Lernenden in der Lage, verschiedene mathematische Ressourcen zu gebrauchen, um entsprechenden Anforderungen in der Gebrauchssituation zu bew\u00e4ltigen.<\/p>\n Details findet man unter Acht Schritte<\/a>. Dort gibt es auch auch verschiedene kommentierte Unterrichtsbeispiele<\/a>. <\/em>Hier nur eine kurze Zusammenfassung:<\/p>\n 1. Schritt: Erst beginnen, wenn Lernende mit der Gebrauchssituation schon Erfahrungen gemacht haben<\/strong><\/p>\n Mit der Behandlung einer Situation im Unterricht zuwarten, bis m\u00f6glichst viele der Lernenden mit gro\u00dfer Sicherheit schon Erfahrungen mit der entsprechenden Situation gemacht haben. Die Erfahrungen lassen sich anreichern, indem man den Lernenden entsprechende Beobachtungsauftr\u00e4ge gibt.<\/p>\n 2. Schritt: Erfahrungen schildern lassen – nicht nur \u201erechnerische\u201c Aspekte, anderes ist genauso wichtig<\/strong><\/p>\n Die Situation im schulischen Unterricht lebendig werden lassen, indem man die Lernenden von ihren Erfahrungen erz\u00e4hlen l\u00e4sst. Ging ein Beobachtungsauftrag voraus, existiert mehr Material f\u00fcr diese Erz\u00e4hlungen. Die \u201ekalkulatorischen\u201c Aspekte sind dabei wichtig, vieles andere ist aber f\u00fcr ein Verst\u00e4ndnis der Situation genauso wichtig.<\/p>\n 3. Schritt: Mittelschwere Aufgabe stellen und die Lernenden in Gruppen erarbeiten lassen, wie sie diese mit ihrem bereits vorhandenen Wissen angehen w\u00fcrden<\/strong><\/p>\n Das vorhandene Vorwissen der Lernenden aufgreifen, indem man ihnen ohne weitere Instruktion eine entsprechende Aufgabe (z.B. Rezept umrechnen) stellt. Die Aufgabe sollte nicht so schwer sein, dass die Lernenden keine Chance haben, auch nur ann\u00e4hernd zu einer L\u00f6sung zu kommen. Sie sollte aber eine echte Aufgabe sein, welche die reale Komplexit\u00e4t der Situation einf\u00e4ngt und die Lernenden etwas herausfordert. Die Aufgabe in Gruppen bearbeiten lassen.<\/p>\n 4. Schritt: Die L\u00f6sungen der Lernenden gemeinsam kritisch besprechen<\/strong><\/p>\n Die einzelnen Gruppen reihum ihre L\u00f6sungen vorstellen lassen und St\u00e4rken und Schw\u00e4chen diskutieren. Wichtig ist dabei, dass nicht nur Schw\u00e4chen herausgearbeitet werden, sondern auch St\u00e4rken, welche anschliessend in der modellhaften L\u00f6sung aufgenommen werden k\u00f6nnen.<\/p>\n 5. Schritt: Der Einsatz der ben\u00f6tigten Ressourcen an realistischem Beispiel modellhaft vormachen<\/strong><\/p>\n An einer Beispielaufgabe eine L\u00f6sung modellhaft vormachen. Dabei nicht eine perfekte Vorstellung bieten, sondern durch lautes Denken erkennen lassen, was man sich alles Schritt f\u00fcr Schritt \u00fcberlegen muss.<\/p>\n 6. Schritt: Lernende eigene Beispiele erfinden und l\u00f6sen lassen bis sie sich sicher f\u00fchlen<\/strong><\/p>\n F\u00fcr die eigentliche \u00dcbungsphase ausgehend von Beispielen die Lernenden eigene Beispiele erfinden lassen. Die Lernenden dann anhand dieser Beispiele \u00fcben lassen (eventuell zuerst im Plenum, dann in Gruppen), bis sie sich sicher f\u00fchlen. Zu Beginn brauchen sie dabei Unterst\u00fctzung (sowohl beim Erfinden der Beispiele wie beim L\u00f6sen), mit der Zeit kann und muss diese wegfallen. Gegen Schluss spontan zus\u00e4tzliche Schwierigkeiten in die Beispiele der Lernenden einbauen.<\/p>\n 7. Schritt: Zentrale Daten erarbeiten, Spickzettel erarbeiten<\/strong><\/p>\n Mit den Lernenden zusammen zentrale Gr\u00f6ssen zusammentragen, die man einfach kennen muss, um den Arbeitsablauf durch Nachschlagen bzw. Nachrechnen nicht zu behindern. Lernende pers\u00f6nliche Spickzettel schreiben lassen (in einem Format, das sie im Alltag auf sich tragen und konsultieren k\u00f6nnen).<\/p>\n 8. Schritt: Anwendung im Alltag diskutieren<\/strong><\/p>\n Im Plenum gemeinsam zu diskutieren, wie und wann das Gelernte im Alltag genutzt werden kann und welche Schwierigkeiten sich dabei ergeben k\u00f6nnen. Die Lernenden ermuntern, das Gelernte tats\u00e4chlich zu nutzen und allf\u00e4llige dabei gemachte Erfahrungen und aufgetauchte Fragen zu einem sp\u00e4teren Zeitpunkt besprechen.<\/p>\n Wenn die Lernenden bei Schritt 3 v\u00f6llig hilflos sind und keine Ideen produzieren, wie die bei ihnen vorhandenen Ressourcen gebraucht werden k\u00f6nnten, kann man versuchen, ihnen eine Br\u00fccke zu bauen. Dazu eignet sich das Instrument des Horizontalen Transfers. <\/em>Beim Horizontalen Transfer<\/em> geht es darum, eine Verbindung zwischen einer den Lernenden vertrauten Gebrauchssituation und einer neuen Gebrauchssituation herzustellen.<\/p>\n Details findet man unter\u00a0Horizontaler Transfer<\/a>. Hier nur eine kurze Zusammenfassung in vier Punkten:<\/p>\n Um mathematische Ressourcen zu situieren braucht es geeignete, den Lernenden vertraute Gebrauchssituationen (Schritt 1 der Acht Schritte, s. 4.1 oben). Auch hier liegt leider keine ausgearbeitete Liste solche Situationen vor. Aus Diskussionen mit Lehrpersonen, welche auf der Sekundarstufe I und\/oder im Rahmen eines 10. Schuljahrs t\u00e4tig sind, haben sich aber verschiedene Anregungen ergeben.<\/p>\n Innerhalb der Schule lassen sich im Rahmen anderer F\u00e4cher Situationen finden, in denen Lernende Mathematik gebrauchen. Echte Gebrauchssituationen d\u00fcrften sich aus dem Arbeiten mit Pl\u00e4nen und Berechnungen im Werken ergeben \u2013 sei es mit Textilien oder Holz oder anderen Materialien. Weniger geeignet sind vermutlich Situationen aus dem naturwissenschaftlichen Unterricht, da viele Lernende diese als schulische Anwendungssituationen<\/em> erleben, die sich nicht von den Anwendungsaufgaben<\/em> im Mathematikunterricht unterscheiden.<\/p>\n Eine sehr enge Verbindung konnte eine Schule herstellen, in der das Mittagessen f\u00fcr die Lernenden im Haus gekocht wird und wo wochenweise immer ein paar der Lernenden dabei mitarbeiten. Dabei m\u00fcssen h\u00e4ufig Rezepte, die f\u00fcr vier Personen gedacht sind, auf die Anzahl der an diesem Tag anwesenden Lernenden umgerechnet werden. In Absprache mit der K\u00fcche konnte im Unterricht der Ablauf der Acht Schritte<\/a> (vgl. 4.1 oben) vollst\u00e4ndig durchgespielt werden. U.a. war es m\u00f6glich, in Schritt 8 intensiv die Erfahrungen zu diskutieren, welche die Lernenden beim Versuch machten, das im Unterricht behandelte in der K\u00fcche zu gebrauchen.<\/p>\n Verschiedene spezielle Ereignisse im Schuljahr wie Schulreisen, Klassenfeste oder ein Weihnachtsmarkt stellen gute Gebrauchssituationen dar, wenn die Lernenden dort engagiert mitarbeiten. Beim Weihnachtsmarkt stellt sich bspw. die Frage der Preisgestaltung und in diesem Zusammenhang kann es notwendig sein, die Warenkosten zu kalkulieren. Schulreisen und Klassenfeste werfen die Frage auf, was alles mit einem gegebenen, beschr\u00e4nkten Budget realisierbar ist. Etc.<\/p>\n Viele Lernende verbringen in der 8. und 9. Klasse in Form von Schnuppertagen und Schnupperlehren Zeit in verschiedensten Betrieben. Dies kann man nutzen, indem man den Lernenden einen Beobachtungsauftrag mitgibt und sie bittet festzuhalten, wo und wie in den jeweiligen Berufen mit Zahlen, Graphiken, Pl\u00e4nen, Tabellen etc. gearbeitet wird. Besonders geeignete Situationen kann man dann aus diesen Beobachtungen herausgreifen und im Unterricht als Gebrauchssituation<\/em> von Mathematik behandeln.<\/p>\n Das Interessante an diesem Zugang ist, dass so eine direktere Br\u00fccke zur folgenden Berufsbildung geschlagen wird, als wenn man Situationen aus dem Schulalltag w\u00e4hlt. Die Schwierigkeit dabei d\u00fcrfte allerdings sein, eine Situation herauszugreifen, welche der Lehrperson so vertraut ist, dass sie sie wirklich in voller Komplexit\u00e4t als Gebrauchssituation<\/em> behandeln kann. Denn sonst droht, dass daraus nur eine weitere Anwendungsaufgabe<\/em> wird.<\/p>\n Als letzte, f\u00fcr die Lernenden aber unter Umst\u00e4nden ergiebigste Variante, kann man versuchen, die Lernenden direkt zu befragen, wo sie denn in ihrem Alltag ausserhalb der Schule und Hausaufgaben mit Zahlen, Graphiken, Pl\u00e4nen, Tabellen etc. zu tun haben. Wichtig d\u00fcrfte dabei sein, dass man nicht die Begriffe \u201eMathematik\u201c und \u201eRechnen\u201c verwendet. Aus der Forschung weiss man, dass wenn man Erwachsene dazu befragt, wo sie in ihrem Alltag \u201eMathematik gebrauchen\u201c, die Antwort meist einfach \u201enirgends\u201c lautet. Dass d\u00fcrfte bei Kindern nicht anders sein.<\/p>\n Die so gefundenen Gebrauchssituationen k\u00f6nnen auf zwei Arten eingesetzt werden. Handelt es sich um eine Situation, in denen die Lernenden sich im Gebrauch der Mathematik sicher f\u00fchlen, kann man gemeinsam zusammentragen, wie sich denn dieser Gebrauch im Detail abspielt. Die Funktion der Lehrperson besteht vor allem darin, durch Nachfragen und geeignet Darstellen zu einer m\u00f6glichst vollst\u00e4ndigen Beschreibung zu gelangen. Auch kann man dar\u00fcber diskutieren, warum gerade so und nicht anders vorgegangen wird.<\/p>\n Handelt es sich dagegen um eine Situation, die zwar f\u00fcr die Lernenden bedeutungsvoll ist, bei der sie sich aber unsicher f\u00fchlen, kann man bspw. \u00fcber die Acht Schritte<\/a> (vgl. 4.1 oben) ihnen helfen, mehr Sicherheit zu gewinnen.<\/p>\n Basendowski, S. (2013). Die soziale Frage an (mathematische) Grundbildung: eine empirische Studie zu dem Wesen, der Funktion und der Relevanz mathematischer Kompetenzen in einfachen Erwerbst\u00e4tigkeiten sowie Analysen f\u00fcr didaktische Implikationen<\/em>. Bad Heilbrunn: Julius Klinkhardt Verlag.<\/p>\n Heymann, H. W. (1996). Allgemeinbildung und Mathematik<\/em> (Vol. 13). Weinheim: Beltz.<\/p>\n Smith, J. P. (1999). Tracking the Mathematics of Automobile Production: Are Schools Failing to Prepare Students for Work? American Educational Research Journal, 36<\/em>(4), 835-878.<\/p>\n Stiftung Rechnen (Ed.). (2015). Mathe4Job<\/em>. M\u00fcnster: WTM.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" 1\u00a0\u00a0\u00a0 Mathematik gebrauchen pdf Sven Basendowski hat in seinen Untersuchungen zur Relevanz mathematischer Kompetenzen im beruflichen Umfeld (Basendowski 2013) eine n\u00fctzliche Unterscheidung eingef\u00fchrt. Er unterscheidet zwischen: Mathematik betreiben Mathematik anwenden Mathematik gebrauchen Mathematik betreiben vor allem Mathematiker und Mathematikerinnen. In … Weiterlesen \n
2 \u00a0\u00a0\u00a0 Ressourcen und Situierte Kompetenzen<\/h1>\n
\n
2.1 Schulmathematik: Aufbau von Ressourcen<\/h2>\n
2.2 Berufsmathematik: Gebrauch von Ressourcen<\/h2>\n
3 \u00a0\u00a0\u00a0 Wunsch 1: Zentrale Ressourcen<\/h1>\n
\n
4 \u00a0\u00a0\u00a0 Wunsch 2: Gebrauchserfahrungen<\/h1>\n
\n
4.1 Acht Schritte<\/h2>\n
4.2 Horizontaler Transfer<\/h2>\n
\n
5 \u00a0\u00a0\u00a0 Ideen f\u00fcr Gebrauchssituationen<\/h1>\n
5.1 F\u00e4cher\u00fcbergreifende Verbindungen<\/h2>\n
5.2 Spezielle Ereignisse im Schuljahr<\/h2>\n
5.3 Berufswahlprozess<\/h2>\n
5.4 Vorhandene Alltagserfahrungen der Lernenden<\/h2>\n
6 Erw\u00e4hnte Literatur<\/h1>\n