{"id":3584,"date":"2016-06-17T13:01:49","date_gmt":"2016-06-17T12:01:49","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=3584"},"modified":"2016-06-17T13:45:41","modified_gmt":"2016-06-17T12:45:41","slug":"minuszeichen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/mathematische-konzepte\/minuszeichen\/","title":{"rendered":"Minuszeichen"},"content":{"rendered":"

pdf<\/a> Der folgende Text ist ein Versuch. Aus der Fachliteratur ist zwar bekannt, dass die hier angegangenen Probleme existieren. Was ich dazu schreibe, ist aber am Schreibtisch entstanden und noch nicht erprobt. Es ist daher noch unklar, ob die hier gew\u00e4hlte Darstellung f\u00fcr Berufsschullehrpersonen verst\u00e4ndlich und n\u00fctzlich ist. F\u00fcr R\u00fcckmeldungen bin ich dankbar!<\/em><\/p>\n

\u00a0<\/em>Wie andere beim Rechnen bzw. in der Mathematik verwendeten Zeichen (Gleichheitszeichen<\/a> und Bruchstriche<\/a>) wird auch das Minuszeichen in mehreren verschiedenen Bedeutungen bzw. Funktionen eingesetzt. Dass die Lernenden daher manchmal verwirrt sind, ist verst\u00e4ndlich. Man kann ihnen helfen, indem man sie dabei unterst\u00fctzt, geeignete Vorstellungen f\u00fcr die verschiedenen Funktionen aufzubauen.<\/p>\n

1 \u00a0\u00a0\u00a0 Drei Verwendungen des Minuszeichens<\/h1>\n

Es lassen sich mindestens die drei folgenden Verwendungen des Minuszeichens unterscheiden (Coutat & Dorier 2016):<\/p>\n

1.1 Operation \u201eWegnehmen\u201c: 5 – 3<\/h2>\n

Dies ist die urspr\u00fcnglichste Verwendung des Minuszeichens und auch diejenige, welche man typischerweise als erste kennenlernt. Solange das Resultat der Operation gr\u00f6sser oder gleich Null ist, d\u00fcrften die wenigsten Lernenden damit Schwierigkeiten haben.<\/p>\n

1.2 Kennzeichen einer negativen Zahl: -3<\/h2>\n

\u201eUnter null\u201c ger\u00e4t man bspw. in der Buchhaltung, wenn man 3 Franken besitzt und 5 Franken ausgibt und nun 2 Franken Schulden hat \u2013 was man als \u201e-2\u201c schreiben kann. Zumindest in Europa taten sich aber selbst die Mathematiker lange Zeit schwer, so etwas wie \u201e-2\u201c als Zahl anzuerkennen. So schrieb bspw. D\u2019Alembert (ein bekannter und gesch\u00e4tzter Mathematiker) noch 1784 in einem Artikel: \u201e \u2026 dass man die Gr\u00f6ssen, die man negative nennt \u2026 f\u00e4lschlich als unterhalb der Null gelegen ansieht\u201c (D\u2019Alembert 1784, S. 73; mehr dazu im Anhang).<\/p>\n

Und Kant meinte, dass zwar bspw. Schulden das Gegenteil, die Negation eines Guthabens sind, und dass 2 Franken Schulden 2 Franken Guthaben aufheben, so dass man sie auch verrechnen kann. Es sei aber absurd zu sagen, dass 2 Franken Schulden geschrieben als \u201e-2\u201c weniger als 0 bzw. weniger als Nichts sei (Kant 1797). Dass negative Zahlen und positive Zahlen zwei verschiedene Sorten von Zahlen sind, die eigentlich beide \u201epositiv\u201c zu verstehen sind, findet man heute noch, wenn in einer Buchhaltung Schulden durch rote Zahlen und ohne Minuszeichen dargestellt werden.<\/p>\n

Erst im 19. Jahrhundert konnte sich die Vorstellung der Zahlengeraden etablieren, auf der man ausgehend von 0 nicht nur nach \u201erechts\u201c in Richtung immer gr\u00f6sserer Zahlen gelangt sondern auch nach \u201elinks\u201c in Richtung immer kleinerer Zahlen. Und erst dadurch wurden bspw. die Voraussetzungen f\u00fcr die Temperaturskala von Celsius geschaffen, bei der \u201e-4 Grad\u201c tats\u00e4chlich weniger als \u201e0 Grad\u201c sind und bei der sich \u201e-4 Grad\u201c und \u201e+4 Grad\u201c nicht in dem Sinn aufheben, wie sich Schulden und Guthaben aufheben. Damit hatte das Minuszeichen eine zweite Funktion erhalten als Kennzeichnung f\u00fcr Zahlen, die mehr oder weniger weit unter 0 liegen.<\/p>\n

1.3 Negation:\u00a0 -(-3) = (+3)<\/h2>\n

Hat man 6 Franken in bar aber auch noch 3 Franken Schulden, so besitzt man eigentlich nur 3 Franken. Kurz kann man das schreiben als 6 + (-3) = 3. Werden die 3 Franken Schulden irgendwie bezahlt, dann besitzt man wieder volle 6 Franken. Kurz: 3 -(-3) = 6 d.h. -(-3) hat denselben Effekt wie +3. Oder in den Worten Kants ausgedr\u00fcckt: Die Negation von 3 Franken Schulden ist 3 Franken Guthaben \u2013 und umgekehrt. Beginnt man also mit negativen Zahlen zu rechnen, kann das Minuszeichen drittens als Negation verstanden werden. + (-3) hat den umgekehrten Effekt wie + (+3), -3 hat den umgekehrten Effekt wie +3.<\/p>\n

Zusammengefasst lassen sich also folgende drei Verwendungszwecke des Minuszeichens unterschieden, die man auseinanderhalten muss und die oft bunt gemischt auftreten:<\/p>\n