{"id":3180,"date":"2015-06-18T13:23:07","date_gmt":"2015-06-18T12:23:07","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=3180"},"modified":"2015-06-19T09:52:52","modified_gmt":"2015-06-19T08:52:52","slug":"konzepte-modellieren","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/didaktische-szenarien\/konzepte-modellieren\/","title":{"rendered":"Konzepte modellieren"},"content":{"rendered":"<p><em>Der folgende Vorschlag basiert auf noch wenigen Erfahrungen, also mit Vorsicht umsetzen! F\u00fcr R\u00fcckmeldungen zu Verst\u00e4ndlichkeit und Umsetzbarkeit bin ich dankbar.<\/em><\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Konzepte_Modellieren.pdf\" target=\"_blank\">pdf<\/a>\u00a0 Masse, wie sie im beruflichen Alltag verwendet werden, haben sich typischerweise \u00fcber Jahrhunderte hinweg entwickelt, bis sie ihre heute gebr\u00e4uchliche Form gefunden haben. Gewisse einfache Masse werden wohl von den meisten Lernenden als unproblematisch erlebt: Man legt das Messband an, um eine L\u00e4nge zu messen. Man dr\u00fcckt auf die Stoppuhr, um eine Zeit zu messen. Man h\u00e4lt das Thermometer ins Wasser, um die Temperatur zu messen. Mehr Probleme bereiten zusammengesetzte Masse wie <em>Fl\u00e4che<\/em>, <em>Volumen<\/em>, <em>Drehmoment<\/em> etc. Und besonders viele Schwierigkeiten scheinen dabei Quotienten-Gr\u00f6ssen zu bieten wie <em>D\u00fcngeraustrag pro Hektare<\/em> oder <em>Dachneigung in Prozent<\/em>.<\/p>\n<p>Eine Schwierigkeit mit diesen Massen ist, dass man ihnen nicht einfach ansieht, wozu sie erfunden wurden und warum sie genau diese Form angenommen haben. Erkennt man das aber nicht, ist es auch schwierig, mit ihnen verst\u00e4ndnisvoll umzugehen. Man kann den Lernenden daher im Umgang mit solchen Massen helfen, indem man Zweck und Form explizit zum Thema macht.<\/p>\n<h1>1 Wozu sind Masse gut?<\/h1>\n<p>Dass bei Personen mit einem eher distanzierten Verh\u00e4ltnis zu Rechnen und Mathematik nicht sofort klar ist, wozu ein bestimmtes Mass gut ist, zeigte sich beispielsweise im Rahmen eines Projekts mit arbeitslosen Jugendlichen in Sydney (Johnston, Baynham, Kelly, Barlow, &amp; Marks, 1997). Zum Thema wurde dort sogar die f\u00fcr viele wohl unproblematische <em>H\u00f6he<\/em> eines Gegenstandes.<\/p>\n<p>Eines der beteiligten M\u00e4dchen erz\u00e4hlte den Forschern, dass sie Schwierigkeiten mit dem Kinderarzt hatte, weil sie diesem die Gr\u00f6sse ihres Babys nicht angeben konnte. Und im Gespr\u00e4ch wurde klar, dass sie \u00fcberhaupt keinen Bezug zu L\u00e4ngen- bzw. H\u00f6henmessungen hatte. Um dem abzuhelfen, spielten die Forscher mit den Jugendlichen in Gruppen folgendes Szenario durch.<\/p>\n<ul>\n<li>Aufgabe 1:<em> Im Raum stehen zwei Tische. Welcher ist wohl h\u00f6her?<\/em> Die typische L\u00f6sung der Jugendlichen war v\u00f6llig \u201emathematikfrei\u201c: Sie stellten die Tische nebeneinander und verglichen sie direkt.<\/li>\n<li>Aufgabe 2:<em> Und wie k\u00f6nnte man vorgehen, wenn die Tische festgeschraubt w\u00e4ren?<\/em> Immer noch \u201emathematikfrei\u201c stapelten die Jugendlichen neben dem einen Tisch B\u00fccher aufeinander, bis die H\u00f6he des Tisches erreicht war. Dann transportierten sie den Stapel zum anderen Tisch und verglichen.<\/li>\n<li>Aufgabe 3:<em> Und wenn wir nun ins Einkaufszentrum fahren, um dort einen gleich hohen Tisch zu kaufen?<\/em> Die L\u00f6sung bestand aus einem St\u00fcck Schnur, das von der Tischplatte heruntergeh\u00e4ngt und entsprechend abgeschnitten wurde. Dieses Schnurst\u00fcck liess sich leicht aufrollen und mitnehmen.<\/li>\n<li>Aufgabe 4:<em> Und wenn euch nun eure Schwester aus Adelaide (1\u2018375 km weit weg) anruft und einen gleich hohen Tisch kaufen m\u00f6chte?<\/em> Nun wurden verschiedene Vorschl\u00e4ge diskutiert, wie etwa die Schnur per Post schicken oder am Telefon beschreiben, welche B\u00fccher die Schwester aufeinander stapeln muss. Nach einiger Zeit setzte sich dann aber doch die Idee durch, ein Messband zu suchen, es an den Tisch zu halten, die Anzahl Zoll abzulesen und die Zahl \u00fcber das Telefon durchzugeben.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Entwicklung des Vorgehens beim Vergleichen illustriert Verschiedenes:<\/p>\n<ol>\n<li>Masse wurden zum Zweck erfunden, Objekte\/Situationen vergleichen zu k\u00f6nnen.<\/li>\n<li>In einer konkreten Situation gibt es daf\u00fcr aber oft andere, direktere M\u00f6glichkeiten, als den gew\u00fcnschten Aspekt der Situation durch eine Zahl darzustellen.<\/li>\n<li>Erst wenn die zu vergleichenden Objekte\/Situationen r\u00e4umlich oder auch zeitlich weit voneinander getrennt sind, d.h. wenn die Kommunikation erschwert ist, erweisen sich Zahlen als das n\u00fctzlichste Mittel.<\/li>\n<li>Damit diese Kommunikation mittels Zahlen \u00fcberhaupt m\u00f6glich ist, muss es immer eine Referenzgr\u00f6sse geben, die beiden Parteien zug\u00e4nglich ist. Das Messband erf\u00fcllt diese Aufgabe. Aber auch die B\u00fccher k\u00f6nnten diese Funktion erf\u00fcllen, wenn die Schwester gen\u00fcgend derselben B\u00fccherh\u00e4tte, um den Stapel nachzubauen.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Den Jugendlichen wurden diese Punkte im Verlauf der Bearbeitung der vier Aufgaben auch bewusst und sie konnten nachvollziehen, dass der Kinderarzt wohl lieber von den Eltern der Kinder eine Zahl als eine entsprechend lange Schnur entgegennimmt. Zahlen kann er sich in einer Tabelle aufschreiben. Die Lagerung von hunderten von Schn\u00fcren k\u00f6nnte mit der Zeit un\u00fcbersichtlich werden.<\/p>\n<p>Es ist aber keineswegs gesagt, dass eine numerische, digitale Massangabe immer die beste und n\u00fctzlichste Form ist. Beispielsweise ist es oft zielf\u00fchrender, etwa f\u00fcr die Montage eines Ger\u00e4ts die Position der zu bohrenden L\u00f6cher mit Hilfe einer Schablone analog anzugeben \u2013 anstatt digital mit Hilfe von X- und Y-Koordinaten.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3186 aligncenter\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Schablone_klein.jpg\" alt=\"Schablone_klein\" width=\"250\" height=\"323\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Schablone_klein.jpg 250w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Schablone_klein-232x300.jpg 232w\" sizes=\"auto, (max-width: 250px) 100vw, 250px\" \/><\/p>\n<h1>2 (Mathematisches) Denken als Kommunizieren<\/h1>\n<p>Masse sind also auf bestimmte Kommunikationssituationen ausgerichtete Kommunikationsmittel. Anna Sfard hat konsequent in diese Richtung weitergedacht (Sfard, 2008). Sie beschreibt, wie man die gesamte Mathematik als \u201emiteinander \u00fcber bestimmte T\u00e4tigkeiten reden\u201c verstehen kann.<\/p>\n<p>An der Basis steht das Z\u00e4hlen. Wenn jemand sagt \u201eDas sind 5 Tafeln Schokolade\u201c dann erz\u00e4hlt er damit leicht verk\u00fcrzt von folgendem Vorgang: Ich sage der Reihe nach \u201e1\u201c, \u201e2\u201c, \u201e3\u201c usw. und zeige dabei bei jedem Wort auf eine andere Schokoladetafel; wenn ich auf jede Tafel genau einmal gezeigt habe, h\u00f6re ich auf; das letzte, was ich gesagt habe, ist \u201e5\u201c. \u201e5\u201c ist die Abk\u00fcrzung f\u00fcr diese ausf\u00fchrlicher Erz\u00e4hlung. Und \u201e3 Tafeln + 4 Tafeln = 7 Tafeln\u201c ist die Abk\u00fcrzung f\u00fcr \u201eHier liegen zwei Haufen Schokoladetafeln. Wenn ich bei ersten Haufen der Reihe nach \u201e1\u201c, \u201e2\u201c \u2026. Beim zweiten Haufen \u2026 Und wenn ich beide Haufen zusammenlege, dann \u2026\u201c.<\/p>\n<p>Auf diesen ersten Abk\u00fcrzungen f\u00fcr einfache Z\u00e4hlvorg\u00e4nge lassen sich dann Schicht um Schicht weitere Abk\u00fcrzungen aufbauen. Um vollst\u00e4ndig auszuschreiben, was hinter 2 x (3+4) = 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 steht, w\u00e4re schon eine ziemlich lange Erz\u00e4hlung notwendig. Und f\u00fcr a<sup>2<\/sup> + b<sup>2<\/sup> = c<sup>2<\/sup> m\u00fcsste man wohl mehre Seiten f\u00fcllen. Das Geniale am ganzen Geb\u00e4ude der Mathematik ist, dass man, wenn man sich an gewisse Regeln h\u00e4lt, mit den Abk\u00fcrzungen allein schon brauchbare Geschichten erz\u00e4hlen kann, ohne dass man diese jedes Mal auseinander nehmen muss. Mathematik betrieben, so Sfard, ist Geschichten erz\u00e4hlen \u2013 und zwar so, dass all diejenigen, die sich mit dieser Art Geschichten auskennen, sie als stimmige Geschichte akzeptieren (Sfard, 2008; vgl. auch\u00a0<a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=2171\"><em>Rituale, Werkzeuge und Modelle<\/em><\/a>).<\/p>\n<p>Und solche Geschichten erz\u00e4hlt man, wenn man jemanden von etwas \u00fcberzeugen will; beispielsweise davon, dass er die gew\u00fcnschten 7 Tafeln Schokolade zusammenbekommt, wenn ich ihm zu seinen 4 Tafeln noch 3 weitere schenke. Hat er seine 4 Tafeln und ich meine 3 dabei, dann geht das ohne Erz\u00e4hlung. Wir legen sie nebeneinander und wir z\u00e4hlen. Schwieriger wird es hingegen, wenn seine 4 Tafeln zuhause sind. Ersatzweise zum direkten Z\u00e4hlen k\u00f6nnte ich ihm dann die Geschichte \u201e4 + 3 = 7\u201c erz\u00e4hlen. Und wenn er sie \u00fcberzeugender findet, hat sich das Problem erledigt.<\/p>\n<h1>3 Masse\/Konzepte als Erz\u00e4hlungen modellieren<\/h1>\n<p>Masse und die damit verbundenen Konzepte kann man also als stark komprimierte, standardisierte Erz\u00e4hlungen verstehen. Sie wurden erfunden, um in ganz bestimmten Situationen jemanden \u00fcberzeugen zu k\u00f6nnen. Mit etwas Aufwand kann man jede dieser komprimierten Erz\u00e4hlungen dekomprimieren \u2013 so wie das in Abschnitt 2 f\u00fcr \u201e5 Tafeln Schokolade\u201c geschehen ist. Und anhand der dekomprimierten Erz\u00e4hlung kann man sich dann veranschaulichen, wann und wozu diese Erz\u00e4hlung gebraucht werden kann \u2013 so wie das in Abschnitt 1 f\u00fcr \u201edie H\u00f6he des Tisches\u201c geschehen ist. Dadurch verlieren die entsprechenden Masse ihre abstrakte Natur und werden f\u00fcr die Lernenden zu handlichen Instrumenten.<\/p>\n<p>Am besten geht das, wenn man die entsprechende Kommunikationssituation, in der eine Person eine andere von etwas zu \u00fcberzeugen versucht, ganz konkret modelliert. Der ablaufende Kommunikationsvorgang l\u00e4sst sich dazu genauso gut modellieren, wie sich ein <a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/didaktische-szenarien\/handfestes-modellieren\/\">Arbeitsvorgang modellieren<\/a> l\u00e4sst. Vieles, was zum Modellieren von Arbeitsvorg\u00e4ngen gesagt wurde, gilt auch beim Modellieren von Kommunikationsvorg\u00e4ngen. Unter anderem macht es auch hier Sinn, die <a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/didaktische-szenarien\/handfestes-modellieren\/\">drei Welten<\/a> der <em>realen Dinge<\/em>, der <em>mathematischen Konzepte<\/em> und der <em>Berechnungsverfahren<\/em> auseinander zu halten.<\/p>\n<h1>4 Ein Beispiel: <em>Dachneigung in Prozent<\/em> als eine Erz\u00e4hlung, die hilft D\u00e4cher zu vergleichen<\/h1>\n<p>Auch \u201eMein Dach hat eine Neigung von 40%\u201c ist eine mathematische Erz\u00e4hlung. Ich k\u00f6nnte sie beispielsweise nutzen, um jemand zu \u00fcberzeugen, dass mein Dach steiler ist als sein Dach. Die Erz\u00e4hlung k\u00f6nnte auch gebraucht werden, um eine Beh\u00f6rde davon zu \u00fcberzeugen, dass mein Dach weniger steil ist als ein bestimmtes Normdach, welches als das steilste noch erlaubte Dach gilt. Etc.<\/p>\n<p><em>Dachneigung in Prozent<\/em> braucht man also nicht einfach als abstraktes Konzept zu verstehen. Dazu wird es eigentlich erst, wenn sich Mathematiker dar\u00fcber beugen und nach interessanten Eigenschaften dieses Konzepts suchen. Im beruflichen Alltag wird das Konzept aber gebraucht, ist also integraler Teil einer Kommunikationssituation: Jemand vergleicht verschiedene D\u00e4cher um sich oder andere davon zu \u00fcberzeugen, dass ein Dach steiler\/flacher\/gleich steil ist wie ein anderes.<\/p>\n<p>Wie das Beispiel illustriert, l\u00e4sst sich dieser Kommunikationsvorgang modellieren. Und wie das Beispiel ebenfalls illustriert, wird dadurch erkennbar, warum das Mass <em>Dachneigung in Prozent<\/em> diese Form angenommen hat.<\/p>\n<h2>4.1 Ein Auftrag<\/h2>\n<p>Die Akteure im folgenden Beispiel sind eine Gruppe von Berufsschullehrpersonen in Ausbildung. Sie erhielten folgenden Auftrag:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3190\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Auftrag_Daecher.jpg\" alt=\"Auftrag_Daecher\" width=\"304\" height=\"228\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Auftrag_Daecher.jpg 304w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Auftrag_Daecher-300x225.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 304px) 100vw, 304px\" \/><\/p>\n<p><em>Zwei Personen vergleichen zwei D\u00e4cher. Modellieren Sie, wie die beiden vorgehen k\u00f6nnten, um sich davon zu \u00fcberzeugen, dass die Behauptung stimmt. Denken Sie dabei nicht gleich an Zahlen und Rechnen, sondern versuchen Sie allgemeiner darzustellen, wie der \u00dcberzeugungsprozess aussehen k\u00f6nnte.<\/em><\/p>\n<h2>4.2 Die Welt der Dinge<\/h2>\n<p><em>(vgl. <\/em><a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=198#anleitung\"><em>Vorg\u00e4nge modellieren<\/em><\/a><em>, Schritt 1)<\/em><\/p>\n<p>Vier Zweiergruppen machten sich an die Arbeit und produzierten dazu in gut einer halben Stunde folgende Modelle.<\/p>\n<h2>\u00a0Fischerrute<\/h2>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3193\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Fischerrute_1.jpg\" alt=\"Fischerrute_1\" width=\"374\" height=\"268\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Fischerrute_1.jpg 374w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Fischerrute_1-300x215.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 374px) 100vw, 374px\" \/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3195\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Fischerrute_2.jpg\" alt=\"Fischerrute_2\" width=\"374\" height=\"268\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Fischerrute_2.jpg 374w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Fischerrute_2-300x215.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 374px) 100vw, 374px\" \/><\/p>\n<p>Abbildung 1: Modell \u201eFischerrute\u201c<\/p>\n<p><em>Wir nehmen eine lange Latte. Dann kn\u00fcpfen wir an das eine Ende ein St\u00fcck Schnur, steigen auf das eine Dach und einer von uns setzt sich auf den First. Er h\u00e4lt die Latte sch\u00f6n waagrecht und l\u00e4sst die Schnur senkrecht nach unten h\u00e4ngen. Der andere schneidet die Schnur am unteren Ende genau dort ab, wo sie das Dach ber\u00fchrt. Anschliessend gehen wir zum zweiten Dach, setzen uns wieder auf den First und halten die Latte wieder waagrecht. Ber\u00fchrt die Schnur das zweite Dach, ist es flacher als das erste; reicht die Schnur nicht bis zum Dach (wie in <\/em>Abbildung 1<em>), dann ist das zweite Dach das steilere<\/em>.<\/p>\n<p>Alle Beteiligten waren sich einig, dass durch dieses Vorgehen tats\u00e4chlich die Frage gekl\u00e4rt werden kann, welches der D\u00e4cher das steilere ist. Eine zweite Gruppe produzierte eine \u00e4hnliches Modell, eine Art \u201eumgedrehte Fischerrute\u201c.<\/p>\n<p><em>Wir gehen zusammen in den Wald und beschaffen uns einen sch\u00f6nen, geraden Stecken. Dann steigen wir auf den Dachboden und schieben den Stecken unter die Dachschr\u00e4ge bis sein \u00e4usseres Ende dort anst\u00f6sst, wo Dach und Boden zusammentreffen. Wir messen am anderen Ende des Steckens, wie hoch das Dach \u00fcber dem Boden ist, und begeben uns anschliessend auf den zweiten Dachboden, wo wir den Vorhang wiederholen. Das Dach, bei dem wir eine gr\u00f6ssere H\u00f6he messen, ist das steilere Dach.<\/em><\/p>\n<h2>Bierkasten<\/h2>\n<p><em>Wir nehmen einen Bierkasten und steigen auf den ersten Dachboden. Dort schieben wir den Bierkasten so weit wie m\u00f6glich unter die Dachschr\u00e4ge. Sitzt er fest, dann messen wir, wie weit das Ende des Bierkastens noch von der Stelle weg ist, wo Dach und Boden zusammenstossen. Dasselbe Vorgehen wiederholen wir beim zweiten Dach. Dort, wo wir den Kasten weiter unter die Dachschr\u00e4ge schieben k\u00f6nnen, ist das steilere Dach.<\/em><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3196\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Bierkasten_klein.jpg\" alt=\"Bierkasten_klein\" width=\"370\" height=\"173\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Bierkasten_klein.jpg 370w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Bierkasten_klein-300x140.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 370px) 100vw, 370px\" \/><\/p>\n<p>Abbildung 2: Modell Bierkasten<\/p>\n<h2>Weihnachtsmann<\/h2>\n<p><em>Wir messen auf beiden D\u00e4chern ausgehend vom First dieselbe Strecke ab (vielleicht vier Meter). Dann bitten wir den Weihnachtsmann, bei beiden D\u00e4chern herunterzurutschen. Wir stoppen die Zeit, die er f\u00fcr die abgemessene Strecke braucht. Das Dach, bei dem er weniger lang braucht, ist das steilere.<\/em><\/p>\n<p>Im Gegensatz zu den drei anderen Gruppen, die ihre (brauchbaren) Modelle ohne grosse Intervention meinerseits erstellten, verrannte sich diese Gruppe zu Beginn ein wenig. Anf\u00e4nglich wollten sie den Weihnachtsmann das ganze Dach herunterrutschen lassen und die entsprechende Zeit stoppen. Sie erkannten nicht sofort, dass diese Zeit nicht nur von den Neigungen der D\u00e4cher, sondern auch von ihren L\u00e4ngen abh\u00e4ngt. Das d\u00fcrfte u.a. darauf zur\u00fcckzuf\u00fchren sein, dass bei ihrem Modell schwieriger zu erkennen ist, was geschieht, wenn man den Vorgang tats\u00e4chlich durchspielt. L\u00e4sst man beispielsweise eine Kugel als Weihnachtsmann die beiden modellierten D\u00e4cher herunterrollen, m\u00fcssen die D\u00e4cher schon ziemlich gross sein, bis die Zeitunterschiede klar erkennbar sind.<\/p>\n<p>Ich schlug ihnen als Reaktion auf ihren ersten Entwurf vor, zu \u00fcberlegen, was passiert, wenn man das steilere Dach doppelt so lang macht. In der Diskussion stellten sie dann bald fest, dass der exakte Zusammenhang zwischen Dachneigung, L\u00e4nge und Zeit nicht ganz einfach ist. Die Gruppe w\u00e4hlte darauf die L\u00f6sung einer normierten Rutschstrecke.<\/p>\n<h2>4.3 Mathematik einbauen<\/h2>\n<p><em>(vgl. <\/em><a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=198#anleitung\"><em>Vorg\u00e4nge modellieren<\/em><\/a><em>, Schritt 2)<\/em><\/p>\n<p>Eine erste konzeptionelle Einsicht ergab sich f\u00fcr die Lehrpersonen spontan, als sie sich reihum gegenseitig die Modelle vorstellten. Alle hatten, um die Vergleichbarkeit zu erreichen, eine normierte Bezugsgr\u00f6sse eingerichtet: Bei \u201eFischerrute\u201c ist es die Latte bzw. der Stecken, der von Dach zu Dach mitgenommen wird. Bei \u201eBierkasten\u201c ist es eben der Bierkasten, den man entweder auch mitschleppt oder bei dem man sich darauf verl\u00e4sst, dass zwei identisch aussehende K\u00e4sten auch die gleichen Abmessungen haben. Und bei \u201eWeihnachtsmann\u201c ist Rutschstrecke normiert. Jede Gruppe konnte bei der Modellsuche die Notwendigkeit einer solchen Bezugsgr\u00f6sse erleben und sah sich dann beim Vergleich mit den anderen Modellen darin best\u00e4tigt.<\/p>\n<p>Als n\u00e4chstes bat ich die Gesamtgruppe zu diskutieren, welches dieser realen Modelle wohl am praktikabelsten sei. In dieser Diskussion wurde das Modell \u201eWeihnachtsmann\u201c relativ schnell eliminiert \u2013 dies v.a. wegen Bedenken bei der Messgenauigkeit. Es ist beispielsweise nicht einfach sicherzustellen, dass alle D\u00e4cher gleich rutschig sind oder dass der Weihnachtsmann sich jedes Mal gleich stark abst\u00f6sst. Interessiert stellen die Teilnehmenden in dieser Diskussion aber auch fest, dass es gleichg\u00fcltig ist, ob man eine horizontale L\u00e4nge (L\u00e4nge der Fischerrute) oder eine vertikale L\u00e4nge (H\u00f6he des Bierkastens) normiert. Ebenfalls keine Rolle spielt es, ob man die Gr\u00f6ssen unter dem Dach misst (Bierkasten und umgedrehte Fischerrute) oder \u00fcber dem Dach (echte Fischerrute).<\/p>\n<p>Ich versuchte dann eine Digitalisierung des Vorgehens zu provozieren. Dazu fragte ich, wie man vorgehen kann, wenn man keine Lust hat, von Dach zu Dach zu reisen und dabei noch Latten, Stecken oder Bierkasten mitzuschleppen. Obwohl ja bereits in allen Modellen (ausser der \u201eFischerrute\u201c) zumindest eine Gr\u00f6sse digitalisiert wurde, dauerte es einen Moment, bis die zentrale Idee geboren war: Die Normobjekte durch ein Metermass ersetzen und davon ausgehen, dass beide Beteiligten \u00fcber identische Messb\u00e4nder verf\u00fcgen. Aus Praktikabilit\u00e4ts\u00fcberlegungen schieden dann \u201eechte Fischerrute\u201c und \u201eBierkasten\u201c aus der Diskussion aus. Den Beteiligten schien es am praktikabelsten, im Sinne der \u201eumgedrehten Fischerrute\u201c auf dem Dachboden zuerst einen Meter abzumessen und dann mit einer zweiten Messung die H\u00f6he an dieser Stelle zu bestimmen.<\/p>\n<p>Dieses zweite Mass \u2013 beispielsweise in Zentimeter \u2013 konnte man sich nun einfach per Telefon mitteilen. Seine Bedeutung ergibt sich aus dem Modell und wurde wie folgt zusammengefasst: Mein Dach steigt jeden Meter um so-und-so viele Zentimeter. Und das Dach, das pro Meter um mehr Zentimeter steigt, soll als das steilere gelten.<\/p>\n<h2>4.4 Rechnen<\/h2>\n<p><em>(vgl. <\/em><a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=198#anleitung\"><em>Vorg\u00e4nge modellieren<\/em><\/a><em>, Schritt 3)<\/em><\/p>\n<p>Bis zu dieser Stelle gab es keinen Grund, irgendetwas zu rechnen. Wenn zwei reale D\u00e4cher zur Verf\u00fcgung stehen, brauchen sich die Beteiligten nur auf das Messprozedere zu einigen. Die aufgeworfene Frage k\u00f6nnen sie dann durch den Austausch beispielsweise der gemessenen H\u00f6hen kl\u00e4ren. Ich bat die Teilnehmenden nun, je f\u00fcr sich die urspr\u00fcngliche Behauptung f\u00fcr die zwei dort erw\u00e4hnten D\u00e4cher zu kl\u00e4ren.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3190\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Auftrag_Daecher.jpg\" alt=\"Auftrag_Daecher\" width=\"304\" height=\"228\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Auftrag_Daecher.jpg 304w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Auftrag_Daecher-300x225.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 304px) 100vw, 304px\" \/><\/p>\n<p>Selbstverst\u00e4ndlich hatten sie alle keine Schwierigkeiten, mit einfachen Proportionalit\u00e4ts\u00fcberlegungen zu einer Antwort zu gelangen:<\/p>\n<ul>\n<li>Mein Dach: 120 cm auf 4 m, also 30 cm pro 1 m.<\/li>\n<li>Dein Dach: 160 cm auf 8 m, also 20 cm pro 1m.<\/li>\n<li>Mein Dach ist tats\u00e4chlich steiler!<\/li>\n<\/ul>\n<h2>4.5 Mathematisches Modell<\/h2>\n<p>Im Grunde genommen konnten die Teilnehmenden bei diesem Schritt nicht einfach nur losrechnen, sondern sie mussten den mathematischen Aspekt des Modells erweitern. Mit \u201e120 cm auf 4 m, also 30 cm pro 1 m\u201c werden die vier Gr\u00f6ssen in einen proportionalen Zusammenhang gesetzt. Dieser gilt nat\u00fcrlich nur bei D\u00e4chern, die \u00fcberall gleich steil sind. Die abgebildeten D\u00e4cher suggerieren das und die Teilnehmenden gingen wie selbstverst\u00e4ndlich von dieser Annahme aus. Man k\u00f6nnte das an dieser Stelle zur Diskussion stellen, aber im konkreten Fall blieb keine Zeit dazu.<\/p>\n<p>Wichtiger war es an dieser Stelle auf die eigentliche Ausgangsfrage zu kommen, wie man denn nun \u201e30% Steigung\u201c zu verstehen hat. Eine Teilnehmerin fasst das so \u201eMit den % gebe ich im Grunde genommen an, dass ich das Ganze in cm (H\u00f6henunterschied) und m (Horizontaldistanz) angebe, und nicht etwa in m pro m \u2013 dann w\u00e4re es ja 0.3. Ich signalisiere einfach, dass ich f\u00fcr die H\u00f6he ein 100-mal feineres Mass nehme. Ich k\u00f6nnte auch m pro 100 m nehmen.\u201c<\/p>\n<p>Die Teilnehmenden waren sich aber an diesem Punkt einig, dass die Angabe in Prozent auf dem Bau eigentlich eine unn\u00f6tige Abstraktion ist. Eine Angabe in cm Anstieg pro m Horizontaldistanz ist anschaulicher. Und rechnen l\u00e4sst sich damit problemlos. Beispielsweise gilt die Regel, dass ein ebener Platz ein Gef\u00e4lle von 2% haben sollte, damit das Wasser gut abl\u00e4uft. Die Lernenden haben typischerweise Schwierigkeiten, zu diesen 2% einen Bezug zu entwickeln. <em>2 cm pro m<\/em> ist hingegen einfacher zu verstehen. Und dass das bei einem Platz von 10 m Breite einen H\u00f6henunterschied von 20 cm bedeutet, bereitet auch rechnerisch kein Problem.<\/p>\n<p>Um die N\u00fctzlichkeit einer Prozent-Darstellung zu illustrieren, musste ich eine n\u00e4chste Erweiterung der Kommunikationssituation vorschlagen: Im Baub\u00fcro existiert bereits ein massstabsgetreuer Plan des Daches. Der Bauherr ruft von der Baustelle an und m\u00f6chte wissen, wie steil das Dach werden wird. Der Lernende im Baub\u00fcro k\u00f6nnte nun die relevanten Masse herausmessen und umrechnen. Ist der Plan beispielsweise im Massstab 1:50 gezeichnet, dann entsprechen 2 cm auf dem Plan 1 m auf dem Bau. Er k\u00f6nnte also 2 cm abmessen und an der Stelle die Dachh\u00f6he bestimmen. 1 mm auf dem Plan entspricht 5 cm auf der Baustelle. Misst er also beispielsweise eine H\u00f6he von 6 mm, dann sind das 30 cm auf dem Bau. Gibt er diesen Wert durch, weiss der Bauherr, woran er ist.<\/p>\n<p>F\u00fchlt sich der Lernende aber beim Umrechnen unsicher, kann er etwas ausf\u00fchrlicher kommunizieren und sowohl den Massstab (1:50) wie die beiden Masse (6 mm auf 2 cm) durchgeben. Das Rechnen ist dann dem Bauherrn \u00fcberlassen. Dabei muss der Lernende gar nicht zwingend bei 2 cm messen. Auch wenn er dem Bauherrn mitteilt, dass auf dem Plan das Dach nach 10 cm genau 3 cm hoch ist, kann der Bauherr damit weiterarbeiten. Und das klappt sogar, wenn der Bauherr nicht weiss, in welchem Mass\u00ad\u00adstab der Plan gezeichnet ist.<\/p>\n<p>Nat\u00fcrlich w\u00fcrde der Bauherr in diesem Fall wohl vermuten, dass der Lernende die Sache nicht ganz im Griff hat. Will der Lernende das verschleiern, kann er es ganz schlau anstellen: Er \u00fcbermittelt nur das Verh\u00e4ltnis zwischen den beiden Massen \u2013 3 zu 10 \u2013 und dr\u00fcckt das auch noch in Prozent aus \u2013 30% \u2013 damit niemand merkt, welche Strecken er gemessen hat!<\/p>\n<p>Anders gesagt: Die Angabe der Dachneigung in Prozent verteilt den Rechenaufwand einigermassen gelichm\u00e4ssig auf Sender und Empf\u00e4nger. Der Sender kodiert, was er auf seiner Seite sieht\/misst, in Form einer Prozentangabe. Der Empf\u00e4nger wandelt das dann wieder in f\u00fcr seine Seite g\u00fcltige Masse um. Und das funktioniert nicht nur zwischen realen D\u00e4chern, sondern auch zwischen Pl\u00e4nen und D\u00e4chern, D\u00e4chern und Pl\u00e4nen sowie Pl\u00e4nen und Pl\u00e4nen.<\/p>\n<p>Die Darstellung der Dachneigung in Form einer Prozentangabe entspricht damit dem, was die Soziologen ein Boundary Object nennen (bspw. Hoyles &amp; Noss, 2004). Ein Boundary Object ist etwas, das auf der Grenze zwischen zwei unterschiedlichen Kontexten steht und von jeder Seite aus gesehen mit Bedeutung gef\u00fcllt werden kann. Es erlaubt so Informationen von einem Kontext zum anderen zu \u00fcbertragen. Wie jedes Boundary Object ist die Dachneigung in Prozent f\u00fcr sich allein bedeutungslos. Sie bekommt erst Sinn in einem komplexen Netzwerk (Latour, 2008) von Praktiken und Bed\u00fcrfnissen. Und in dieses Netzwerk m\u00fcssen die Lernenden hineinwachsen (Lave, 1988; Lave &amp; Wenger, 1991), bis sie mit der Angabe der Dachneigung in Prozent wirklich arbeiten k\u00f6nnen.<\/p>\n<h2>4.6 Und die Lernenden?<\/h2>\n<p>Am Schluss blieb nur noch etwas Zeit, kurz anzudiskutieren, welche Konsequenzen sich aus den gemachten Erfahrungen f\u00fcr die Arbeit mit den Lernenden ergeben k\u00f6nnten. Im Prinzip zeigten sich dabei zwei m\u00f6gliche Stossrichtungen:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Probleme vermeiden<\/strong>: Man kann versuchen, konzeptionelle Probleme ganz zu vermeiden, indem man die Lernenden ermuntert, in \u201ecm pro m\u201c zu denken. Dies kann beispielsweise geschehen, indem man beim Bearbeiten der Situation \u201eDachneigung \u2026\u201c mit Hilfe der <em><a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/didaktisches-grundmodell\/acht-schritte\/\">Acht Schritte<\/a><\/em> bei Schritt 5 als professionelles Vorgehen vorschl\u00e4gt, allf\u00e4llige Neigungsangaben in Prozent immer sofort in cm pro m zu \u00fcbersetzen.<\/li>\n<li><strong>Mathematik als Kommunikation modellieren:<\/strong> Sollten die Lernenden dann trotzdem noch Verst\u00e4ndnisschwierigkeiten haben, k\u00f6nnte man versuchen, mit ihnen genau dieselbe Aufgabe zum \u201eD\u00e4cher-Vergleichen\u201c durchzuspielen. So wie die Lehrpersonen ihre Freude daran hatten und sehr kreativ dahinter gingen, ist zu erwarten, dass sie auch die Lernenden anspricht.<\/li>\n<\/ul>\n<h1>5 Konzepte modellieren \u2013 eine Anleitung<\/h1>\n<p>Das beschriebene Beispiel illustriert, wie Modelle auch Lehrpersonen helfen k\u00f6nnen, zentrale Konzepte oder Gr\u00f6ssen ihres Berufsfeldes durchzudenken. Es ist zu erwarten, dass dieses vertiefte Verst\u00e4ndnis seitens der Lehrpersonen diesen helfen kann, Lernende bei Verst\u00e4ndnisproblemen zu unterst\u00fctzen. Allerdings liegen hier noch keine Erfahrungen vor.<\/p>\n<h2>5.1 Das Vorgehen ganz allgemein<\/h2>\n<p>Das Wesentliche des hier vorgeschlagenen Vorgehens l\u00e4sst sich in folgenden Punkten zusammenfassen:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>\u201eWie k\u00f6nnen zwei Personen sich davon \u00fcberzeugen, dass \u2026?\u201c als Grundfrage:<\/strong> Mathematische Konzepte kann man als \u00dcberzeugungsinstrumente betrachten. Sie werden benutzt, um sich oder andere davon zu \u00fcberzeugen, dass entweder eine von zwei Situationen die andere in einem bestimmten Punkt \u00fcbertrifft, oder dass beide in diesem Punkt ununterscheidbar sind.<\/li>\n<li><strong>Zuerst Modellieren des \u00dcberzeugungsvorgangs ohne Zahlen und Mathematik:<\/strong> Genauso wie beim Modellieren von <a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/didaktische-szenarien\/handfestes-modellieren#anleitung\">Bearbeitungsvorg\u00e4ngen <\/a>ist es wichtig, zuerst einmal den \u00dcberzeugungsvorgang herauszuarbeiten, ohne schon an Rechnen und Mathematik zu denken. Die Frage ist hier: Was m\u00fcssen die Beteiligten alles in welcher Reihenfolge tun, damit am Schluss alle \u00fcberzeugt sind?<\/li>\n<li><strong>Einf\u00fchrung von Massen und Zahlen schrittweise durch Einf\u00fchrung von Randbedingungen provozieren:<\/strong> Gerade dank der Aufforderung \u201enicht an Zahlen und Mathematik zu denken\u201c werden die ersten Modelle meist ohne in Zahlen ausgedr\u00fcckte Messgr\u00f6ssen auskommen. Die N\u00fctzlichkeit und den Sinn der im entsprechenden Zusammenhang \u00fcblichen Messgr\u00f6ssen kann man dann erlebbar machen, indem man immer mehr Auflagen an die Kommunikationssituation macht. Der Bedarf nach einer Digitalisierung der Messung wird typischerweise immer gr\u00f6sser, je gr\u00f6sser die r\u00e4umliche und\/oder zeitliche Distanz zwischen den beiden zu vergleichenden Situationen ist (vgl. das Beispiel mit der Tischh\u00f6he in Abschnitt 1) und je unterschiedlicher die beiden Situationen sind (bspw. ein reales Dach und ein gezeichnetes Dach).<\/li>\n<li><strong>Mathematische Beziehungen kl\u00e4ren, wo sich die Gelegenheit daf\u00fcr gibt: <\/strong>Typischerweise schon beim ersten Modell, aber sicher dann bei der Weiterentwicklung, wird sichtbar werden, dass der \u00dcberzeugungsvorgang nur funktioniert, wenn bestimmte Gr\u00f6ssen in einem bestimmten Bezug zueinander stehen (bspw. an beiden Orten gleich hohe Bierk\u00e4sten eingesetzt werden). Es ist sinnvoll, sobald solche Bez\u00fcge sichtbar werden, diese als mathematisches Modell ins reale Modell einzutragen <em>(vgl. <\/em><a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=198#anleitung\"><em>Vorg\u00e4nge modellieren<\/em><\/a><em>, Schritt 2)<\/em>.<\/li>\n<li><strong>Berechnungen erst am Schluss: <\/strong>Erst ganz am Schluss, wenn das Konzept, das man modellieren wollte, seinen Platz gefunden hat, macht das Durchrechnen konkreter Zahlenbeispiele Sinn. Auf diesem Weg kann man sich abschliessend \u00fcberzeugen, wie die \u00fcblichen Berechnungsverfahren sich im Modell abbilden <em>(vgl. <\/em><a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=198#anleitung\"><em>Vorg\u00e4nge modellieren<\/em><\/a><em>, Schritt 3)<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>5.2 Quotienten-Gr\u00f6ssen<\/h2>\n<p>Vermutlich lassen sich verschiedene Untertypen von Modellen f\u00fcr verschiedene Typen von Konzepten bzw. Massen unterscheiden. Ein solcher Untertyp sind Modelle f\u00fcr Quotienten-Gr\u00f6ssen wie Steigung in Prozent, D\u00fcngeraustrag pro Hektare, Geschwindigkeit eines Autos (km\/h), Dichte von Wasser (kg\/dm<sup>3<\/sup>) etc. Diese Modelle haben mindestens folgende Eigenschaften gemeinsam, welche bewusst gemacht werden m\u00fcssen:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>F\u00fcr den \u201eNenner\u201c wird eine normierte Bezugsgr\u00f6sse ben\u00f6tigt:<\/strong> So wie beim \u201eD\u00e4cher-Vergleichen\u201c beispielsweise derselbe Bierkasten von Haus zu Haus mitgenommen wird, braucht es immer eine Bezugsgr\u00f6sse, welche in beiden Situationen mit Sicherheit identisch ist.<\/li>\n<li><strong>Es wird angenommen, dass sich die Gr\u00f6sse im \u201eZ\u00e4hler\u201c gleichm\u00e4ssig ver\u00e4ndert:<\/strong> So wie beim \u201eD\u00e4cher-Vergleichen\u201c angenommen wird, dass das Dach \u00fcberall gleich steil ist, wird auch angenommen, dass der D\u00fcngeraustrag gleichm\u00e4ssig erfolgt, dass das Auto gleichm\u00e4ssig schnell f\u00e4hrt, dass das Wasser sich gleichm\u00e4ssig verteilt etc..<\/li>\n<\/ul>\n<h2>5.3 M\u00f6glichkeiten und Grenzen<\/h2>\n<p>Vielleicht werden zuk\u00fcnftige Erfahrungen zeigen, dass sich nicht alle Konzepte, welche Lernenden Schwierigkeiten bereiten, auf diese Art gewinnbringend modellieren lassen. Momentan gibt es aber keinen Grund, das zu bef\u00fcrchten.<\/p>\n<p>M\u00f6gliche Grenzen des Einsatzes d\u00fcrften eher durch den daf\u00fcr notwendigen Aufwand gegeben sein. Die verschiedenen gebr\u00e4uchlichen Konzepte und die damit verbundenen \u00dcberzeugungsprozesse haben alle ihre spezifischen Eigenarten. Es ist nicht zu erwarten, dass Lernende, welche einmal ein in ihrem Berufsfeld gebr\u00e4uchliches Konzept modelliert haben (bspw. Dachneigung in Prozent), die gewonnen Erkenntnisse ohne weiteres f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis anderer Konzepte (bspw. Dichte von Baumaterialien) nutzen k\u00f6nnen. Vermutlich m\u00fcssen sie jedes relevante Konzept separat durchspielen, um je das daf\u00fcr notwendige Verst\u00e4ndnis zu erwerben. Und es ist auch nicht zu erwarten, dass die Lehrpersonen, wenn sie mit ihren Lernenden einmal auf diese Art ein Konzept erarbeitet haben, ohne weitere Vorbereitung die Arbeit an anderen Konzepten aufnehmen k\u00f6nnen. Jede Lehrperson wird daher jedes Konzept separat zuerst f\u00fcr sich aufarbeiten m\u00fcssen.<\/p>\n<p>Wie gross dieser Aufwand ist, h\u00e4ngt nat\u00fcrlich vom Berufsfeld ab, bzw. wie \u201emathematiklastig\u201c dieses ist, wie viele solcher Konzepte dort eine Rolle spielen. Sofern es mehr als zwei, drei sind, d\u00fcrfte der Aufwand zu gross werden, als dass er im normalen Fachkundeunterricht integriert werden kann. Daher ist es wichtig, dieses Vorgehen nicht pr\u00e4ventiv einzusetzen und mit den Lernenden einfach einmal als \u201eGrundlage\u201c alle relevanten Konzepte durchzuarbeiten. Sinnvoller ist es, die Bearbeitung von Berechnungssituationen \u00fcber die <em><a href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/didaktisches-grundmodell\/acht-schritte\/\">Acht Schritte<\/a><\/em> zu behandeln und die relevanten Konzepte bei Schritt 5 im Gebrauch einzuf\u00fchren. Nur wenn dann die Lernenden immer noch hartn\u00e4ckig Verst\u00e4ndnisschwierigkeiten haben, ist eine Kl\u00e4rung via Modellieren wirklich angezeigt.<\/p>\n<h1>6 Zitierte Literatur<\/h1>\n<ul>\n<li>Hoyles, C., &amp; Noss, R. (2004). Situated abstraction: mathematical understandings at the boundary. Paper presented at the ICME-10, Kopenhagen.<\/li>\n<li>Johnston, B., Baynham, M., Kelly, S., Barlow, K., &amp; Marks, G. (1997). Numeracy in Practice. Effective Pedagogy in Numeracy for Unemployed Young People. Sydney: Centre for Language and Literacy, University of Technology.<\/li>\n<li>Latour, B. (2008). Wir sind nie modern gewesen (Vol. 1861). Frankfurt a.M.: Suhrcamp.<\/li>\n<li>Lave, J. (1988). Cognition in practice. Mind, mathematics and culture in everyday life. Cambridge: Cambridge University Press.<\/li>\n<li>Lave, J., &amp; Wenger, E. (1991). Situated Learning. Legitimate peripheral participation. Cambridge: Cambridge University Press.<\/li>\n<li>Sfard, A. (2008). Thinking as communicating: human development, the growth of discourses, and mathematizing. Cambridge: Cambridge University Press.<\/li>\n<\/ul>\n<h1>\u00a07 Anhang: Analoges Rechnen<\/h1>\n<p>Wie angemerkt, ist es nicht immer zielf\u00fchrender, Gr\u00f6ssen digital als Zahlen anzugeben. Das Beispiel der Montageschablone illustriert das.<\/p>\n<p>Aber sogar die Verarbeitung analoger Daten ist manchmal einfacher und schneller: M\u00f6chte man beispielsweise hundert kleinere Gegenst\u00e4nden nach ihrer L\u00e4nge sortieren, kann man ihre L\u00e4ngen \u201emessen\u201c, indem man hundert rohe Spaghetti entsprechend k\u00fcrzt und so markiert, dass klar ist, welche Spaghetti welchem Gegenstand entspricht. Nimmt man dann alle Spaghetti in eine Hand und stellt sie zusammen auf die Tischplatte, ist sofort sichtbar, welcher Gegenstand der l\u00e4ngste ist, welcher der zweitl\u00e4ngste etc. Das geht deutlich schneller, als wenn man jeden Gegenstand mit einem Messband misst, diese Masse in eine geeignete Tabelle eintr\u00e4gt und dann diese Zahlen sortiert.<\/p>\n<p><em>Vgl. dazu den Artikel <\/em><a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Analogrechner\" target=\"_blank\"><em>Analogrechner<\/em><\/a><em> auf Wikipedia. (Die <\/em><a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Analog_computer\" target=\"_blank\"><em>englische Version<\/em><\/a><em> ist wesentlich ausf\u00fchrlicher.)<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Der folgende Vorschlag basiert auf noch wenigen Erfahrungen, also mit Vorsicht umsetzen! F\u00fcr R\u00fcckmeldungen zu Verst\u00e4ndlichkeit und Umsetzbarkeit bin ich dankbar. pdf\u00a0 Masse, wie sie im beruflichen Alltag verwendet werden, haben sich typischerweise \u00fcber Jahrhunderte hinweg entwickelt, bis sie ihre &hellip; <a href=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/didaktische-szenarien\/konzepte-modellieren\/\">Weiterlesen <span class=\"meta-nav\">&rarr;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":7,"featured_media":0,"parent":2823,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"sidebar-page.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-3180","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3180","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/7"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3180"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3180\/revisions"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2823"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3180"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}