{"id":2751,"date":"2014-09-22T14:02:13","date_gmt":"2014-09-22T13:02:13","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=2751"},"modified":"2015-05-20T14:19:53","modified_gmt":"2015-05-20T13:19:53","slug":"bruchstriche","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/mathematische-konzepte\/bruchstriche\/","title":{"rendered":"Bruchstriche"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align: right;\"><a title=\"ausf\u00fchrliche Darstellung als pdf \u00f6ffnen\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Bruchstriche_VKAF.pdf\" target=\"_blank\">etwas ausf\u00fchlicher als pdf<\/a><\/p>\n<p><em>Der folgende Text ist ein Versuch. Ich weiss, dass das hier angegangene Problem existiert, und ich bin mir auch ziemlich sicher, in welchen Kontexten \u201eBruchstriche\u201c vorkommen, d.h. f\u00fcr welche Kontexte Lehrpersonen in der Berufsbildung Unterst\u00fctzung ben\u00f6tigen w\u00fcrden. Was ich dazu geschrieben habe, ist aber am Schreibtisch entstanden und noch nicht erprobt. Es ist daher noch unklar, ob die hier gew\u00e4hlte Darstellung f\u00fcr Berufsschullehrpersonen verst\u00e4ndlich und n\u00fctzlich ist und ob die vorgeschlagen Vorstellungen zu den einzelnen Kontexten f\u00fcr ihre Lernenden n\u00fctzlich sind. F\u00fcr R\u00fcckmeldungen zu beiden Punkten bin ich dankbar!<\/em><\/p>\n<h1>1 Widerst\u00e4nde<\/h1>\n<p>Angehende Elektromonteure m\u00fcssen im ersten Lehrjahr Bruchterme wie die folgenden bearbeiten: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2991\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Doppelbrueche_Bruchstrich.jpg\" alt=\"Doppelbrueche_Bruchstrich\" width=\"177\" height=\"170\" \/><\/p>\n<p>Warum das so ist, l\u00e4sst sich nicht so leicht in Erfahrung bringen. Ein Grund daf\u00fcr d\u00fcrfte aber der Zusammenhang zwischen den Teilwiderst\u00e4nden und dem Gesamtwiderstand in einer Parallelschaltung sein:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2992\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Paralellschaltung.jpg\" alt=\"Paralellschaltung\" width=\"238\" height=\"188\" \/><\/p>\n<p>Diese Gleichung umgeformt und nach R<sub>ges<\/sub> \u201eaufgel\u00f6st\u201c ergibt folgenden Doppelbruch:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2993\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Doppelbruch_Paralellschaltung.jpg\" alt=\"Doppelbruch_Paralellschaltung\" width=\"185\" height=\"71\" \/><\/p>\n<p>Sind es nur zwei Teilwiderst\u00e4nden, dann kann man, wenn man das n\u00fctzlich findet, auch weiter umformen, bis man beispielsweise folgende Formeln erh\u00e4lt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2994\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Doppenbrueche_zwei_parallel.jpg\" alt=\"Doppenbrueche_zwei_parallel\" width=\"139\" height=\"160\" \/><\/p>\n<p>Und da f\u00fcr Elektromonteure im praktischen Alltag parallele Widerst\u00e4nde eine gewisse Rolle spielen, kann man daraus nat\u00fcrlich folgern, dass f\u00fcr sie komplexe Bruchterme von Bedeutung sind.<\/p>\n<p>Allerdings ist es m\u00f6glich, das Ganze auch anders anzugehen: 1\/R, d.h. der Kehrwert des Widerstandes hat auch einen Namen. Er wird als \u201eLeitwert\u201c bezeichnet und mit G abgek\u00fcrzt: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2996\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Leitwert.jpg\" alt=\"Leitwert\" width=\"102\" height=\"53\" \/><\/p>\n<p>Der Zusammenhang zwischen G und R ist intuitiv leicht nachvollziehbar: Je gr\u00f6sser der Widerstand (R), umso kleiner der Leitwert (G), d.h. umso schlechter leitet das betrachtete elektronische Bauteil. Und umgekehrt: Je kleiner der Widerstand, umso gr\u00f6sser der Leitwert, d.h. umso besser leitet das Bauteil. Mit G an Stelle von 1\/R wird der Zusammenhang von oben zu:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2997\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Summe_Leitwerte.jpg\" alt=\"Summe_Leitwerte\" width=\"142\" height=\"36\" \/><\/p>\n<p>Auch das ist intuitiv nachvollziehbar: Wenn man parallel zu einem Bauteil mit dem Leitwert G<sub>1<\/sub> ein zweites Bauteil mit dem Leitwert G<sub>2<\/sub> einf\u00fcgt, dann steigt der gesamte Leitwert von vorher G<sub>1<\/sub> um den Leitwert des neu dazugekommen Teils (G<sub>2<\/sub>) auf G<sub>1<\/sub>+G<sub>2<\/sub>. Und rechnerisch ist es einfach, aus bekannten Leitwerten einen unbekannten abzuleiten, beispielsweise bei zwei Bauteilen:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2998\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Differenz_Leitwerte.jpg\" alt=\"Differenz_Leitwerte\" width=\"118\" height=\"40\" \/><\/p>\n<p>Ben\u00f6tigt man dann nicht den Leitwert, sondern den Widerstand, kann man immer noch den Kehrwert nehmen. So betrachtet, gibt es keinen Grund, mit Elektromonteuren komplexe Bruchterme zu behandeln. Das einzige, was sie k\u00f6nnen m\u00fcssen, ist mit Kehrwerten umgehen.<\/p>\n<h1>2 Bruchstriche und Br\u00fcche<\/h1>\n<p>Nicht immer, wenn ein Bruchstrich auftritt, handelt es dabei um einen Bruch im engeren Sinn. Mit \u201eBruch im engeren Sinn\u201c sind die Situationen gemeint, in denen man beispielsweise 3\/4 zu Recht als <strong>Teil eines Ganzen<\/strong> interpretieren kann, also etwa \u201eein zu 3\/4 gef\u00fcllter Krug\u201c. In diesen Situationen gelten die Regeln und Vorgehensweisen des klassischen Bruchrechnens mit Gleichnamig-Machen etc. Beispielsweise: \u201eSch\u00fcttete man zu einem zu 3\/4 gef\u00fcllten Krug noch den Inhalt eines zu 1\/8 gef\u00fcllten (gleich grossen!) Kruges, so ist der erste Krug nun zu 7\/8 gef\u00fcllt.\u201c<\/p>\n<p>Es gibt aber verschiedenste andere Situationen, in denen Bruchstriche andere Interpretationen haben (vgl. etwa Malle, 2004) und bei denen manchmal sogar die Regeln des klassischen Bruchrechnens nicht gelten. Soweit ich sehe, spielen dabei im beruflichen Kontext vor allem die folgenden vier eine Rolle:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Kehrwerte:<\/strong> Widerstand = 1 \/ Leitwert<\/li>\n<li><strong>Quotienten-Gr\u00f6ssen:<\/strong> km\/h, kg\/m<sup>3<\/sup>, m<sup>3<\/sup>\/ha<\/li>\n<li><strong>Proportionen:<\/strong> L\u00e4nge<sub>1<\/sub>\/Breite<sub>1<\/sub>=L\u00e4nge<sub>2<\/sub>\/Breite<sub>2<\/sub><\/li>\n<li><strong>Innere Verh\u00e4ltnisse:<\/strong> Rote zu blaue Teile im Verh\u00e4ltnis 2\/1<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dazu kommen noch Steigungsangaben, welche v.a. im Baugewerbe von Bedeutung sind und ebenfalls ihre eigenen Gesetzm\u00e4ssigkeiten haben.<\/p>\n<h2>2.1 Kehrwerte<\/h2>\n<p>Ein erstes Beispiel sind die Kehrwerte aus Abschnitt 1. 1\/R beschreibt auf keine Art und Weise den Teil irgendeines \u201eGanzen\u201c. Beim klassischen Bruchrechnen ist es \u00e4usserst wichtig, dass man weiss, auf welches \u201eGanze\u201c sich der Bruch bezieht. Die Rechnung oben funktioniert nur, wenn es sich beide Male um dasselbe \u201eGanze\u201c \u2013 hier konkret: gleich grosse Kr\u00fcge \u2013 handelt (vgl. etwa Swanson &amp; Williams, 2014; beim Prozentrechnen entspricht dies der Frage, worauf sich 100% bezieht.). Bei 1\/R w\u00fcrde die Suche nach einem \u201eGanzen\u201c aber nur in die Irre f\u00fchren.<\/p>\n<p>1\/R ist kein klassischer Bruch, sondern beschreibt die Beziehung zwischen zwei Gr\u00f6ssen, dem Widerstand und dem Leitwert, von denen der eine auf eine bestimmte Art kleiner wird, wenn der andere gr\u00f6sser wird. Die Art dieses Zusammenhangs kann man graphisch so darstellen:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3000\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Graphik_Kehrwert.jpg\" alt=\"Graphik_Kehrwert\" width=\"299\" height=\"262\" \/><\/p>\n<p>Wichtig ist hier also nicht die Vorstellung \u201eTeil eines Ganzen\u201c (diese ist sogar irref\u00fchrend), sondern wichtig sind Vorstellungen wie \u201eWenn ich den Widerstand verdopple, halbiert sich der Leitwert\u201c. D.h.: Die relative Ver\u00e4nderung einer Gr\u00f6sse hat immer denselben Effekt auf die relative Ver\u00e4nderung der anderen Gr\u00f6sse. Wichtig ist daneben aber auch zu sehen, dass die absolute Ver\u00e4nderung einer Gr\u00f6sse nicht immer denselben Effekt hat: \u201eWenn ich die eine Gr\u00f6sse von 0.1 auf 0.2 erh\u00f6he, sinkt die andere Gr\u00f6sse von 10 auf 5; wenn ich hingegen die eine Gr\u00f6sse von 1.0 auf 1.1 (also ebenfalls um 0.1) erh\u00f6he, sinkt die andere Gr\u00f6sse nur um etwa 0.1 von 1 auf 0.9\u201c.<\/p>\n<h2>2.2 Quotienten-Gr\u00f6ssen<\/h2>\n<p>Bruchstriche treten im Weiteren bei Gr\u00f6ssen auf, die als Verh\u00e4ltnis von zwei anderen Gr\u00f6ssen angegeben werden: Geschwindigkeit (km\/h), Dichte (kg\/m<sup>3<\/sup>), Verbrauch (l\/m<sup>2<\/sup>) etc. Auch hier w\u00e4re die Vorstellung \u201eTeil eines Ganzen\u201c fehl am Platz. Wovon k\u00f6nnten 4 km\/2 h \u201eTeil\u201c sein?<\/p>\n<p>Welche Vorstellungen hier wichtig sind und wo dabei Schwierigkeiten auftreten k\u00f6nnen, zeigt folgendes Beispiel: Agrarpraktiker werden angehalten, beim D\u00fcngen zumindest \u00fcberschlagsm\u00e4ssig zu berechnen, wie viele m<sup>3<\/sup> G\u00fclle sie pro ha verteilt haben. Um dies zu \u00fcben, wurde in einer Klasse zuerst ein Beispiel f\u00fcr ein Feld von 200\u00a0m auf 258\u00a0m berechnet, auf das 156\u00a0m<sup>3<\/sup> G\u00fclle ausgetragen werden. Die Fl\u00e4che des Feldes betr\u00e4gt 5.16\u00a0ha. Also werden rund\u00a030 m<sup>2<\/sup>\/ha eingesetzt, was den \u00fcblichen Vorgaben entspricht. Die Lernenden hatten mit dieser Aufgabe keine grossen Schwierigkeiten. Als zweites folgte dann eine Aufgabe mit einem kleineren Feld: 48 m auf 68 m und 10 m<sup>3<\/sup> G\u00fclle. Die Fl\u00e4che ist hier 0.32 ha und es ergeben sich wieder etwa 30 m<sup>3<\/sup>\/ha. An dieser Stelle stutzten nun einige Lernende: Sie haben ja nur 10 m<sup>3<\/sup> G\u00fclle ausgetragen; wie kann es denn sein, dass es im Resultat 30 m<sup>3<\/sup> sind, also viel mehr?<\/p>\n<p>Die Verwirrung dieser Lernenden l\u00e4sst sich l\u00f6sen, wenn man sie fragt, was denn geschehen w\u00e4re, wenn sie mit ihrem Traktor genau gleich weitergefahren w\u00e4ren, bis sie eine ganze ha abgedeckt h\u00e4tten. Nach einigen Hin-und-Her erkennen sie, dass 30 m<sup>3<\/sup>\/ha in beiden Aufgaben im Sinn von \u201ewas w\u00e4re wenn\u201c verstanden werden muss: Wie viel h\u00e4tte ich verbraucht, wenn ich auf diese Art genau eine ha bearbeitet h\u00e4tte?<\/p>\n<p>Dieselbe Vorstellung ist wichtig f\u00fcr alle Angaben dieser Art. Die errechneten 60 km\/h nachdem man in einer halben Stunde 30 km zur\u00fcckgelegt hat, bedeutet auch: Wie weit w\u00e4re ich gekommen, wenn ich auf die genau gleiche Art genau eine Stunde gefahren w\u00e4re? Etc.<\/p>\n<p><em>Interessant ist \u00fcbrigens, dass man bei diesen Quotienten-Gr\u00f6ssen auch einmal \u201efalsch\u201c rechnen darf (bezogen auf die Regeln des klassischen Bruchrechnens). \u00a0Nehmen wir an, Cristiano Ronaldo hat im Hinspiel 3\/4 (drei von vier) Tore geschossen und im R\u00fcckspiel 2\/3 (zwei von drei). Dann ist es v\u00f6llig in Ordnung, die zwei \u201eZ\u00e4hler\u201c (3+2=5) und die zwei \u201eNenner\u201c (3+4=7) zu addieren um zum Schluss zu kommen, dass er insgesamt 5\/7 (f\u00fcnf von sieben) Tore geschossen hat. <\/em><\/p>\n<h2>2.3 Proportionen<\/h2>\n<p>Ab und zu treten Bruchstriche in \u201eFormeln\u201c auf, die den Zusammenhang zwischen der Verh\u00e4ltnissen verschiedener Gr\u00f6ssen beschreiben. Bekannte Beispiele daf\u00fcr sind:<\/p>\n<p><strong>Brechungsgesetz:<\/strong> Wechselt ein Lichtstrahl von einem Medium (bspw. Luft) in ein anderes Medium (bspw. Wasser), dann \u00e4ndert er seine Richtung.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3001\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Graphik_Brechung.jpg\" alt=\"Graphik_Brechung\" width=\"330\" height=\"252\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Graphik_Brechung.jpg 330w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Graphik_Brechung-300x229.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 330px) 100vw, 330px\" \/><\/p>\n<p>Wie stark das geschieht, h\u00e4ngt von der Geschwindigkeit des Lichts in den beiden Medien ab (kurz c<sub>1<\/sub> und c<sub>2<\/sub>). Trifft das Licht im Winkel d<sub>1<\/sub> aus dem Medium 1 herkommend auf die Grenzfl\u00e4che, dann wird es diese Fl\u00e4che im Medium 2 im Winkel d<sub>2<\/sub> verlassen. Dabei gilt: Die beiden Winkel (bzw. deren Sinus) stehen zueinander im gleichen Verh\u00e4ltnis wie die beiden Lichtgeschwindigkeiten.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3002\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Formel_Brechung.jpg\" alt=\"Formel_Brechung\" width=\"98\" height=\"56\" \/><\/p>\n<p><strong>Mischrechnung:<\/strong> Braucht beispielsweise eine Milchtechnologin Milch mit einem Fettgehalt von 1.9%, dann wird sie diese typischerweise herstellen, indem sie zwei Milchsorten mit je einem h\u00f6heren und einem tieferen Fettgehalt mischt (M<sub>1<\/sub> und M<sub>2<\/sub>). Typische Ausgangssorten sind Vollmilch mit einem Fettgehalt von beispielsweise 3.8% sowie Magermilch mit einem Fettgehalt von 0.05%. Wieviel es von jeder Sorte braucht, h\u00e4ngt davon ab, wie stark der Fettgehalt der einzelnen Sorte vom erw\u00fcnschten Fettgehalt abweicht (DF<sub>1<\/sub> und DF<sub>2<\/sub>). Weicht eine Sorte nur wenig ab, dann gleicht die gew\u00fcnschte Mischung stark dieser Sorte und man kann viel von dieser Sorte nehmen. Es gilt: Das Verh\u00e4ltnis der beiden Teilmengen M<sub>1<\/sub> und M<sub>2<\/sub> zueinander entspricht dem umgekehrten Verh\u00e4ltnis der Abweichungen im Fettgehalt DF<sub>1<\/sub> und DF<sub>2<\/sub>. (Genau diesen Zusammenhang nutzt das sogenannte \u201eMischkreuz\u201c).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3003\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Formel_Mischrechnung.jpg\" alt=\"Formel_Mischrechnung\" width=\"93\" height=\"61\" \/><\/p>\n<p>Ich denke, es ist \u00fcberfl\u00fcssig, an dieser Stelle nochmals zu betonen, dass auch hier die Vorstellung \u201eTeil eines Ganzen\u201c nicht weiter hilft. Wichtiger ist zu sehen, dass hier ein System von vier Gr\u00f6ssen dargestellt wird, die auf eine ganz bestimmte Art und Weise zusammenwirken. Fixiert man zwei dieser Gr\u00f6ssen auf einen festen Wert und variiert man eine dritte, dann ver\u00e4ndert sich als Folge davon die vierte Gr\u00f6sse auf eine ganze bestimmte Art und Weise.<\/p>\n<p>Fixiert man beispielsweise beim Brechungsgesetzt das erste Medium (also c<sub>1<\/sub>) und den Einfallswinkel (also d<sub>1<\/sub>), dann kann man untersuchen, wie sich der Ausfallswinkel d<sub>2<\/sub> \u00e4ndert, wenn man das zweite Medium (also c<sub>2<\/sub>) ver\u00e4ndert. Beispielsweise:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3005\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Tabelle_Brechung.jpg\" alt=\"Tabelle_Brechung\" width=\"549\" height=\"130\" \/><\/p>\n<p>Nicht alle m\u00f6glichen Kombinationen von fixen und variablen Werten entsprechen praktisch relevanten Situationen. So d\u00fcrfte sich im praktischen Alltag der Milchtechnologen wohl kaum je die Frage stellen, wie sich der Fettgehalt der zweiten Menge \u00e4ndern muss, wenn man das Verh\u00e4ltnis der beiden Mengen zueinander (M<sub>1<\/sub>\/M<sub>2<\/sub>) fix h\u00e4lt und den Fettgehalt der ersten Menge \u00e4ndert. Sich das zu \u00fcberlegen, ist eine h\u00fcbsche geistige Turn\u00fcbung aber praktisch kaum relevant. Hingegen d\u00fcrfte es wichtig sein, eine Vorstellung davon zu haben, wie sich das Verh\u00e4ltnis der beiden Mengen zueinander \u00e4ndern muss, wenn der Fettgehalt der einen Menge fix ist und man den Fettgehalt der anderen Menge variiert (also beispielsweise Vollmilch mit 4.1% anstatt 3.8% Fettgehalt einsetzt).<\/p>\n<p>Neben der Vorstellung, wie sich die Ver\u00e4nderung einer Gr\u00f6sse auf eine andere auswirkt, d\u00fcrfte es auch wichtig sein, eine zumindest intuitive Begr\u00fcndung daf\u00fcr zu haben, warum die Zusammenh\u00e4nge so sind, wie sie in den jeweiligen Formeln zum Ausdruck kommen. F\u00fcr die Mischrechnung habe ich oben versucht, eine solche Begr\u00fcndung zu geben: Je \u00e4hnlicher beispielsweise der Fettgehalt eine Sorte dem Fettgehalt der gew\u00fcnschten Mischung ist, umso mehr nimmt man von dieser Sorte; je un\u00e4hnlicher, umso weniger.<\/p>\n<p>Auch beim Brechungsgesetz ist eine intuitive Begr\u00fcndung m\u00f6glich. Man kann sich das Licht, das auf die Grenzfl\u00e4che zwischen bei beiden Medien trifft, als Welle vorstellen (in der Skizze unten angedeutet als hintereinander herlaufende Wellenberge). Wie man sieht, trifft die eine Seite der Welle fr\u00fcher auf das zweite Medium, wird also fr\u00fcher gebremst, als die andere, die noch mit der alten Geschwindigkeit weiterl\u00e4uft. Dadurch wird die Welle etwas gedreht.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3007\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Graphik_Fronten_Brechung.jpg\" alt=\"Graphik_Fronten_Brechung\" width=\"206\" height=\"158\" \/><\/p>\n<p><em>Das Brechungsgesetzt wird \u00fcblicherweise nicht mittels der beiden Geschwindigkeiten c<sub>1<\/sub> und c<sub>2<\/sub> sondern mittels der sogenannten <\/em><em>Brechungsindizes der beiden Medien (kurz n<sub>1<\/sub> und n<sub>2<\/sub>) formuliert: n<sub>1<\/sub>\/n<sub>2<\/sub> = <\/em><em>sin(<\/em><em>d<\/em><em><sub>2<\/sub>)\/<\/em><em>sin(<\/em><em>d<sub>1<\/sub>). So dargestellt, ist der Zusammenhang aber intuitiv schwieriger nachvollziehbar, weil im \u201eBrechungsindex\u201c im Gegensatz zu den unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeiten nur das Resultat nicht aber die Ursache f\u00fcr die Winkel\u00e4nderung sichtbar ist. Der Brechungsindex ist aber nichts anderes als der Kehrwert (vgl. 2.1 oben) der Lichtgeschwindigkeit (multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum), also n<sub>1<\/sub> = 1\/c<sub>1<\/sub> x c<sub>v<\/sub>. Man kann also jederzeit einfach zwischen Brechungsindex und Lichtgeschwindigkeit hin und her rechnen. Und ist man vertraut im Umgang mit Kehrwerten, weiss man auch, was dabei geschieht.<\/em><\/p>\n<h2>2.4 Innere Verh\u00e4ltnisse<\/h2>\n<p>M\u00f6chte man im Beispiel oben bei der Mischrechnung aus Magermilch (M<sub>1<\/sub>; 0.05% Fettgehalt) und Vollmilch (M<sub>2<\/sub>; 3.8% Fettgehalt) 1000 Liter Milch mit 2% Fettgehalt mischen, dann erh\u00e4lt man, wenn man in die Grundformel einsetzt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3009\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Brechnung_Mischrechnung.jpg\" alt=\"Brechnung_Mischrechnung\" width=\"252\" height=\"52\" \/><\/p>\n<p>D.h. man muss Vollmilch zu Magermilch im Verh\u00e4ltnis von 1.95 zu 1.8 zusammenmischen (anschaulich: die gew\u00fcnschten 2% liegen ein klein wenig n\u00e4her bei den 3.8% als bei den 0.05%, daher braucht es ein klein wenig mehr Vollmilch als Magermilch).<\/p>\n<p>Angaben dieser Art treten immer wieder auf, wie beispielsweise \u201eEs haben sich doppelt so viele M\u00e4dchen wie Knaben angemeldet\u201c d.h. das Verh\u00e4ltnis von Knaben zu M\u00e4dchen ist 1:2. Bei dieser Art \u201eBruch\u201c ist tats\u00e4chlich ein Bezug zu einem \u201eGanzen\u201c gegeben, nur sind sowohl \u201e2\u201c wie \u201e1\u201c sich erg\u00e4nzende Teile desselben \u201eGanzen\u201c: Auf drei Kindern kommen jeweils 2 M\u00e4dchen und 1 Knabe bzw. 1\/3 der Kinder sind Knaben, 2\/3 sind M\u00e4dchen. Haben sich beispielsweise 90 Kinder angemeldet, so m\u00fcssen das 30 Knaben und 60 M\u00e4dchen sein.<\/p>\n<p>Angaben dieser Art bezeichnet man als <em>innere Verh\u00e4ltnisse<\/em>. Sie sind immer so zu verstehen, dass \u201eZ\u00e4hler\u201c und \u201eNenner\u201c dieses Bruches ein Teil des \u201eGanzen\u201c sind, welches \u201eZ\u00e4hler\u201c und \u201eNenner\u201c zusammen ausmachen. Im Beispiel oben bedeutet also m<sub>2<\/sub>\/m<sub>1<\/sub> = 1.95\/1.8 dass das \u201eGanze\u201c, worauf sich die Angaben 1.95 und 1.8 beziehen, 3.75 (=1.95+1.8) ist. Es wird 1.95\/3.75= 52% Vollmilch und entsprechend 48% Magermilch ben\u00f6tigt. Auf 1000 Liter bezogen, sind das 520 Liter Vollmilch und 480 Liter Magermilch.<\/p>\n<p>Wichtig ist hier also die Vorstellung, dass sich eine Angabe wie 1:2 zwar sehr wohl auf ein \u201eGanzes\u201c bezieht, dass dieses \u201eGanze\u201c aber nicht 1 ist (wie bei einem Bruch im engeren Sinn), sondern dass \u201eZ\u00e4hler\u201c und \u201eNenner\u201c zusammen dieses \u201eGanze\u201c ausmachen. \u201eKnaben im Verh\u00e4ltnis 1:2\u201c heisst nicht \u201e1\/2, d.h. die H\u00e4lfte, sind Knaben\u201c, sondern 1\/3 sind Knaben.<\/p>\n<h2>2.5 Steigungen<\/h2>\n<p>Steigungen im Gel\u00e4nde werden je nach Berufsfeld auf verschiedene Arten angegeben. \u00dcblich sind Angaben in Grad (30\u00b0, Steigungswinkeln), in Prozent (2%, H\u00f6henunterschied in Prozent der Horizontaldistanz), als Verh\u00e4ltnis (3:2, H\u00f6henunterschied\u00a0:\u00a0Horizontaldistanz) und als Bruch (1\/200, H\u00f6henunterschied\/Horizontaldistanz).<\/p>\n<p>Steigungsangaben sind Proportionen (ausser den Angaben in Grad):<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3010\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Formel_Steigung.jpg\" alt=\"Formel_Steigung\" width=\"211\" height=\"55\" \/><\/p>\n<p>Das eine der beiden Verh\u00e4ltnisse wird dabei quasi als Modell f\u00fcr das andere benutzt: \u201eDas Verh\u00e4ltnis von H\u00f6henunterschied zur Horizontaldistanz ist wie im Fall, wo man 200 Meter weit gehen muss, bis man 1 Meter gestiegen ist\u201c. Die Darstellung des Verh\u00e4ltnisses, das als Modell dient, ist jeweils normiert. Bei Steigungsangaben wie 2% hat das Modell immer die Form \u201ewenn man 1 Meter weit geht, steigt man soundso viele Zentimeter\u201c. Bei Angaben wie 1\/200, 1\/220 etc. ist es immer \u201eum 1 Meter zu steigen, muss man soundso viele Meter gehen\u201c.<\/p>\n<p>Indem man verschieden F\u00e4lle durch immer gleich normierte Modelle abbildet, werden die F\u00e4lle leichter vergleichbar. Sowohl zu einem Fall, bei dem es auf 4 km Horizontaldistanz um 4\u2018000 m nach oben geht, wie zu einem Fall, in dem es auf 2 m Horizontaldistanz um 2 m nach oben geht, passt das Modell 100%, d.h.: \u201eWenn man 1 Meter weit geht, steigt man um 100 cm\u201c. Beide F\u00e4lle sind in dieser Hinsicht vergleichbar.<\/p>\n<p>Steigungen teilen die Eigenart, dass reale Verh\u00e4ltnisse auf ein normiertes Modell bezogen werden mit den Quotienten-Gr\u00f6ssen (vgl. 2.2 oben). Auch hier geht es um eine \u201ewas w\u00e4re wenn\u201c \u00dcberlegung. Wenn man anstatt nach 4 km Horizontaldistanz den H\u00f6henunterschied zu messen, diesen bereits nach 1 Meter messen w\u00fcrde, wie gross w\u00e4re er dann? F\u00fcr den Umgang mit Steigungen sind also einerseits dieselben Vorstellungen wichtig wie f\u00fcr die Quotienten-Gr\u00f6ssen.<\/p>\n<p>Andererseits teilen Steigungen mit den Proportionen die Eigenart, dass zwei Verh\u00e4ltnisse einander gleich gesetzt werden. Auch hier ist es beispielsweise so, dass man, wenn zwei der vier Gr\u00f6ssen gegeben sind, ausprobieren kann, wie die vierte Gr\u00f6sse reagiert, wenn man die dritte ver\u00e4ndert. Gegeben sind hier allerdings immer dieselben beiden Gr\u00f6ssen, n\u00e4mlich die beiden des Modells. Trotzdem sind f\u00fcr den Umgang mit Steigungen auch die Vorstellungen wichtig, die beim Umgang mit Proportionen eine Rolle spielen.<\/p>\n<p><em>Folgendes Beispiel illustriert, wie man mit solchen Angaben nicht einfach \u201erechnen\u201c kann (Wake, 2014): Ein Ingenieur muss f\u00fcr eine Bahnstrecke die durchschnittliche Steigung berechnen. Die ganze Strecke zerf\u00e4llt in zwei Teilstrecken mit folgenden Eigenschaften:<\/em><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3011\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Tabelle_Steigungen_1.jpg\" alt=\"Tabelle_Steigungen_1\" width=\"253\" height=\"125\" \/><\/p>\n<p><em>Man k\u00f6nnte nun versucht sein, die zwei \u201eBr\u00fcche\u201c zu addieren und dann durch zwei zu teilen, um den Durchschnitt zu erhalten: <\/em><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><em>(1\/220 + 1\/400) : 2 =<br \/>\n(20\/4400 + 11\/4400) : 2 =<br \/>\n(31\/4400) : 2 = 31\/8800 <\/em><em>? 1\/284<\/em><\/p>\n<p><em>Schaut man sich die Situation aber genauer an, stellt man schnell fest, dass dies nicht ganz stimmt:<\/em><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-3013\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Tabelle_Steigungen_2.jpg\" alt=\"Tabelle_Steigungen_2\" width=\"354\" height=\"166\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Tabelle_Steigungen_2.jpg 354w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Tabelle_Steigungen_2-300x141.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 354px) 100vw, 354px\" \/><\/p>\n<p><em>Dividiert man den gesamten H\u00f6henunterschied durch die Gesamtl\u00e4nge der zwei Teilstrecken, erh\u00e4lt man 3.73 \/ 1000 <\/em><em>? 1 \/ 268. D.h. die Gesamtstrecke ist im Durchschnitt etwas steiler, als der Wert, den man erh\u00e4lt, wenn man den Durchschnitt der Steigungen der beiden Teilstrecken nimmt. Das liegt daran, dass die zweite Teilstrecke etwas k\u00fcrzer ist als erste, sie also etwas weniger Einfluss auf den gesamten H\u00f6henunterschied hat und damit ihre geringere Steigung etwas weniger ins Gewicht f\u00e4llt.<\/em><\/p>\n<p><em>Das klassische Bruchrechnen funktioniert hier nicht, da sich die beiden \u201eBr\u00fcche\u201c nicht auf dasselbe \u201eGanze\u201c beziehen. Die 1\/220 beziehen sich auf einen 600 m langen Streckenabschnitt, die 1\/400 auf einen 400\u00a0m langen. Dasselbe gilt \u00fcbrigens auch, wenn man die Steigungen nicht als \u201eBr\u00fcche\u201c sondern bspw. in Promille angibt, also 4.5<\/em><em>\u2030 und 2.5<\/em><em>\u2030, denn bei diesen Promilleangaben bezieht sich jeweils 1000<\/em><em>\u2030 selbstverst\u00e4ndlich genau so wenig auf dasselbe, wie die jeweiligen \u201eGanzen\u201c bei den Bruchangaben.<\/em><\/p>\n<h1>3 Die Vorstellungen kurz zusammengefasst<\/h1>\n<p><strong>Kehrwerte:<\/strong> Wenn die eine Gr\u00f6sse sich verdoppelt, dann halbiert sich die andere. Wenn die eine Gr\u00f6sse sich um einen festen Betrag gr\u00f6sser wird, h\u00e4ngt die Wirkung davon ab, zu welchem Ausgangswert dieser Betrag addiert wird. (Beispiele: Widerstand = 1 \/ Leitwert; Brechungsindex = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum \/ Lichtgeschwindigkeit)<\/p>\n<p><strong>Quotienten-Gr\u00f6ssen:<\/strong> Wenn man mit der gleichen Geschwindigkeit weiterfahren w\u00fcrde bis eine Stunde vorbei ist, dann h\u00e4tte man so und so viele Kilometer zur\u00fcckgelegt. (Beispiele: km\/h, kg\/m<sup>3<\/sup>, m<sup>3<\/sup>\/ha)<\/p>\n<p><strong>Proportionen:<\/strong> Die Formel steht f\u00fcr einen bestimmten, meist intuitiv nachvollziehbaren Zusammenhang zwischen vier Gr\u00f6ssen. Typischerweise sind zwei davon bekannt. In diesem Fall kann man untersuchen, was mit der vierten Gr\u00f6sse geschieht, wenn man die dritte ver\u00e4ndert. (Beispiele: c<sub>1<\/sub>\/c<sub>2<\/sub> = sin(d<sub>1<\/sub>)\/sin(d<sub>2<\/sub>); M<sub>1<\/sub>\/M<sub>2<\/sub>=DF<sub>1<\/sub>\/DF<sub>2<\/sub>)<\/p>\n<p><strong>Innere Verh\u00e4ltnisse:<\/strong> Bei diesem \u201eBruch\u201c machen \u201eZ\u00e4hler\u201c und \u201eNenner\u201c zusammen das \u201eGanze\u201c aus. \u201eZ\u00e4hler\u201c und \u201eNenner\u201c stehen dann f\u00fcr je einen, sich erg\u00e4nzenden Teil dieses \u201eGanzen\u201c. (Beispiele: Knaben\/M\u00e4dchen = 2\/1; M<sub>1<\/sub>\/M<sub>2<\/sub> = 1.95\/1.8)<\/p>\n<p><strong>Steigungsangaben:<\/strong> Eine Kombination der Vorstellungen zu <em>Proportionen<\/em> und zu <em>Quotienten-Gr\u00f6ssen<\/em> (Beispiele: 1\/2200; 2.5\u2030)<\/p>\n<h1>4 Weitere Bruchstriche<\/h1>\n<p>Neben den oben beschrieben Verwendungen von Bruchstrichen im beruflichen Kontext gibt es noch eine ganze Reihe weiterer, die an verschiedenen anderen Orten eine Rolle spielen. Ein paar Beispiele dazu:<\/p>\n<p><strong>Eine Zahl: <\/strong>1\/x stellvertretend f\u00fcr die Zahl, die man erhalten w\u00fcrde, wenn man 1 durch x teilen w\u00fcrde.<\/p>\n<p><strong>Wettquoten: <\/strong>4\/1 f\u00fcr das Verh\u00e4ltnis des Gewinns zum Einsatz, hier: Wer 1 Franken einsetzt, erh\u00e4lt 4 Franken, sofern er gewinnt.<\/p>\n<p><strong>Lottosysteme:<\/strong> 7\/49 f\u00fcr \u201ees m\u00fcssen 7 von 49 Zahlen angekreuzt werden\u201c (\u201e7 aus 49\u201c).<\/p>\n<p><strong>Sprachliche Abk\u00fcrzungen:<\/strong> Manchmal treten Bruchstriche auch an Stellen auf, wo zwar so etwas wie eine Verh\u00e4ltnis angedeutet wird, aber eine eigentliche \u201emathematische\u201c Interpretation nicht m\u00f6glich ist. Beispielsweise: 24\/7 als Kurzformel f\u00fcr \u201esieben Tage die Woche rund um die Uhr\u201c.<\/p>\n<h1>6 Erw\u00e4hnte Literatur<\/h1>\n<ul>\n<li>Malle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. <em>Mathematik lehren, 123<\/em>, 4-8.<\/li>\n<li>Swanson, D., &amp; Williams, J. (2014). Making abstract mathematics concrete in and out of school <em>Educational Studies in Mathematics, 86<\/em>(2), 193-209.<\/li>\n<li>Wake, G. (2014). Making sense of and with mathematics: the interface between academic mathematics and mathematics in practice. <em>Educational Studies in Mathematics<\/em>, 1-20. doi: 10.1007\/s10649-014-9540-8<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>etwas ausf\u00fchlicher als pdf Der folgende Text ist ein Versuch. 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