{"id":2747,"date":"2014-09-22T13:55:40","date_gmt":"2014-09-22T12:55:40","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=2747"},"modified":"2015-02-12T16:45:26","modified_gmt":"2015-02-12T15:45:26","slug":"gleicheitszeichen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/mathematische-konzepte\/gleicheitszeichen\/","title":{"rendered":"Gleicheitszeichen"},"content":{"rendered":"

pdf<\/a> Der folgende Text ist ein Versuch. Aus der Fachliteratur ist zwar bekannt, dass die hier angegangenen Probleme existieren. Was ich hier dazu geschrieben habe, ist aber am Schreibtisch entstanden und noch nicht erprobt. Es ist daher noch unklar, ob die hier gew\u00e4hlte Darstellung f\u00fcr Berufsschullehrpersonen verst\u00e4ndlich und n\u00fctzlich ist. F\u00fcr R\u00fcckmeldungen bin ich dankbar!<\/em><\/p>\n

Eine Aufgabe aus der vierten Klasse (Prediger 2010):<\/p>\n

Lisa rechnet 24 x 7 so:\r\n24 x 7 = 20 x 7 + 4 x 7 = 140 + 28 = 168.\r\ni) Hat sie das richtig gemacht? Wie w\u00fcrdest Du das machen? \r\nii) Berechne 54 x 6 so wie es Lisa gemacht hat.<\/em><\/pre>\n
Emily (10 Jahre alt) protestiert: \u201eLisa rechnet nicht richtig; 24 mal 7 ist nicht 20! Und was ist denn das nach der 20?\u201c Sie macht dann mit der Aufgabe nicht mehr weiter. Und dies, obwohl sie selbst normalerweise auch wie Lisa vorgeht und 24 x 7<\/em> in 20 x 7<\/em> und 4 x 7<\/em> zerlegt.<\/p>\n
Emilys Problem ist offenbar nicht, dass sie nicht rechnen kann. Ihr Problem ist, dass sie nicht versteht, wie hier das Gleichheitszeichen eingesetzt wird. Das ist kein Wunder, denn es gibt mindestens sechs verschiedene Arten, das Gleichheitszeichen zu verwenden (Prediger 2010).<\/p>\n
1 Operation und Relation<\/h1>\n
Emily ist sich an Aufgaben der Art<\/p>\n
              24 : 6 <\/em>- 3 =<\/em><\/pre>\n
gewohnt. Dort ist das Gleichheitszeichen eine Aufforderung, etwas zu tun: \u201eSchreibe dahinter die Antwort!<\/em>\u201c Diese Antwort ist immer eine Zahl, in diesem Fall 1<\/em>. Entsprechend interpretiert sie auch in 24 x 7 = 20<\/em> das Gleichheitszeichen als Operation<\/strong>: Lisa hat 24 x 7<\/em> gerechnet und hinter dem Gleichheitszeichen 20<\/em> als Resultat notiert.<\/p>\n
In der Aufgabe ist aber mit<\/p>\n
              24 x 7 = 20 x 7 + 4 x 7<\/em><\/pre>\n
eine Relation<\/strong> gemeint: Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht (in einem gewissen Sinn) dasselbe (Prediger 2010). Diese Bedeutung des Gleichheitszeichens ist f\u00fcr Emily, wenn nicht gerade ganz neu, so doch zumindest unvertraut. Entsprechend verwirrt reagiert sie. Genau gleich geht es Lernenden, die beispielsweise zum ersten Mal die \u201eFormel\u201c U\u00a0=\u00a0R\u00a0x\u00a0I<\/em> sehen. In welchem Sinn kann R x I<\/em> das Resultat von U <\/em>sein? \u00dcberhaupt, wie kann U <\/em>ein Resultat haben?<\/p>\n
Die Lernenden haben typischerweise in ihrer Schullaufbahn zuerst das Gleichheitszeichen als Operations-Zeichen angetroffen und die meisten haben noch vergleichsweise wenig Erfahrungen mit dem Gleichheitszeichen als Relations-Zeichen. Daher ist zu erwarten, dass sich die Interpretation als Operation immer wieder in den Vordergrund dr\u00e4ngt. Entsprechend wichtig ist es, im Unterricht bewusst und explizit auf diesen Unterschied hinzuweisen.<\/p>\n
Etwas vorbeugen kann man, indem man das Gleichheitszeichen nie in \u201eKettenrechnungen\u201c der folgenden Art einsetzt:<\/p>\n
              24 : 6 = 4 <\/em>- 3 = 1 !!<\/em><\/pre>\n
Hier kann das Gleichheitszeichen nur als Operation verstanden werden (\u201eIch rechne 24\u00a0:\u00a06 und erhalte 4; dann rechne ich weiter 4 – 3 und erhalte 1\u201c<\/em>). Im Gegensatz dazu k\u00f6nnen in<\/p>\n
              24 : 6 <\/em>- 3 = 1<\/em><\/pre>\n
beide Bedeutungen ohne Widerspruch nebeneinander bestehen (\u201eIch rechne 24\u00a0:\u00a06\u00a0–\u00a03 und erhalte 1<\/em>\u201c und \u201e24 : 6 – 3 und 1 sind gleich<\/em>\u201c).<\/p>\n
2 Formale Gleichheit und kontextgebundene Gleichheit<\/h1>\n
Die Art der Relation, welche in<\/p>\n
             24 x 7 = 20 x 7 + 4 x 7<\/em><\/pre>\n
oder auch in<\/p>\n
              5 x 7 = 7 x 5<\/em><\/pre>\n
zum Ausdruck kommt, bezeichnet eine arithmetische Gleichheit<\/strong> und bedeutet im Wesentlichen: Man kann das so oder so rechnen; das Resultat ist dasselbe.<\/p>\n
Aber auch f\u00fcr Lernende, welche mit dieser Unterscheidung zwischen Operation und Relation zurechtkommen, sind noch lange nicht alle Ursachen f\u00fcr Verwirrungen und Missverst\u00e4ndnisse ausger\u00e4umt (Prediger 2010). In den beiden folgenden Formeln steht das Gleichheitszeichen zwar in beiden F\u00e4llen f\u00fcr die Gleichheit der beiden Seiten. Es ist aber nicht dieselbe Art von Gleichheit:<\/p>\n
              (a-b)(a+b)=a\u00b2-b\u00b2<\/em><\/pre>\n
              a\u00b2+b\u00b2=c\u00b2<\/em><\/pre>\n
Die erste Gleichheit gilt immer und unter allen Umst\u00e4nden. Die Formal dr\u00fcckt aus, dass die beiden Seiten der Gleichung formal<\/strong> gleich sind, dass die eine immer f\u00fcr die andere einstehen kann. Egal welche Zahlen man f\u00fcr a und b einsetzt, man wird auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe Resultat erhalten. Gleichheit bedeutet hier also: Man kann das auf die eine wie die andere Art berechnen; es spielt keine Rolle, welche Variante man w\u00e4hlt \u2013 ganz \u00e4hnlich wie im konkreten Fall von 5 x 7 = 7 x 5<\/em>.<\/p>\n
Ganz im Gegensatz dazu die zweite der beiden Gleichungen. Hier gilt keinesfalls, dass man beliebige Zahlen f\u00fcr a, b und c einsetzen kann. Etwa 22<\/sup>+32<\/sup><\/em> ist nicht gleich 42<\/sup><\/em>. Die Gleichheit gilt nur in einem bestimmten Kontext<\/strong>, bei einer bestimmten Interpretation. Hier gilt sie, wenn man f\u00fcr a, b und c die Seitenl\u00e4ngen eines rechtwinkligen Dreiecks einsetzt, wo bei c die L\u00e4nge der Seite gegen\u00fcber dem rechten Winkel (der Hypotenuse) sein muss. Nur wenn diese Bedingungen erf\u00fcllt sind, kann man diese kontextgebundene<\/strong> Gleichheit genauso nutzen, wie die formale<\/strong> Gleichheit oben: Egal welche Seite der Gleichung man berechnet, man kennt damit auch das Resultat, welches die Berechnung der anderen Seite ergeben w\u00fcrde.<\/p>\n
Die Lernenden treffen im Zusammenhang von f\u00fcr ihren jeweiligen Beruf wichtigen Formeln (wie etwa U = R x I<\/em>) vor allem kontextgebundene<\/strong> Gleichheit an. Es ist auch wichtig, dass sie diese Gleichungen so verstehen, dass ihnen bewusst ist, dass diese eine mathematische Beschreibung eines realen Zusammenhangs sind. Das d\u00fcrfte den Lernenden nicht so ohne weiteres klar sein, denn in ihrem bisherigen Mathematikunterricht haben sie sich mehrheitlich mit formaler <\/strong>Gleichheit besch\u00e4ftigt, haben erkundet, welche Zusammenh\u00e4nge zwischen Zahlen bestehen, unabh\u00e4ngig davon wof\u00fcr diese Zahlen stehen (f\u00fcr ein Beispiel s. Abschnitt 7 unten). Entsprechend ist es wichtig, explizit zum Thema zu machen, dass eine solche kontextgebundene Gleichheit<\/strong> ein Modell f\u00fcr einen real gegeben Zusammenhang ist, den zuerst irgendjemand einmal entdecken musste.<\/p>\n
3 Bedingungen f\u00fcr eine Unbekannte<\/h1>\n
Die oben beschriebene kontextgebundene Gleichheit k\u00f6nnte man als allgemeine kontextgebundene Gleichheit<\/strong> bezeichnen. U = R x I<\/em> steht daf\u00fcr, dass in jedem Stromkreis dieser Zusammenhang zwischen Spannung (U), Widerstand (R) und Stromst\u00e4rke (I) besteht. Es gibt unendlich viele Tripel <U,R,I>, unter denen man w\u00e4hlen kann, um die Gleichung zu erf\u00fcllen. Sind hingegen beispielsweise U und R bekannt, dann kann man I nicht mehr beliebig w\u00e4hlen. Beispielsweise ist mit<\/p>\n
              220 Volt = 100 Ohm<\/em> x I<\/em><\/pre>\n
f\u00fcr I nur noch ein Wert m\u00f6glich, n\u00e4mlich 2.2 Ampere. Man k\u00f6nnte in diesem Fall von einer spezifischen kontextgebundenen Gleichheit<\/strong> sprechen. Der Kontext ist so klar gegeben, dass es f\u00fcr eine bestimmte Gr\u00f6sse, an der man interessiert ist, die man aber nicht direkt kennt, nur noch eine (oder manchmal einige wenige) M\u00f6glichkeiten gibt. In diesem Fall beschreibt die Gleichung nicht einen allgemeinen Zusammenhang (Stromkreise im Allgemeinen) sondern einen spezifischen (einen ganz bestimmten Stromkreis).<\/p>\n
Haben die Lernenden die allgemeine kontextgebundene Gleichheit verstanden, die in Formeln wie U = R x I<\/em> zum Ausdruck kommt, dann sollten sie mit dieser spezifischen Varianten davon keine M\u00fche haben.<\/p>\n
Ausserhalb der Berufsbildung k\u00f6nnen Gleichungen dieser Art auch ohne Bezug auf einen bestimmten Kontext vorkommen. Die Gleichung<\/p>\n
              x\u00b2 = 6 - x<\/em><\/pre>\n
definiert Rahmenbedingungen, welche die Unbekannte x erf\u00fcllen muss<\/strong> (Prediger 2010), auch ohne dass man x eine inhaltliche Interpretation gibt. In diesem Fall gibt es zwei m\u00f6gliche Wert f\u00fcr x, welche diese Gleichung erf\u00fcllen: 2<\/em> und -3<\/em>.<\/p>\n
4 Definitionen<\/h1>\n
Und nicht zuletzt tritt das Gleichheitszeichen auch in Definitionen auf (Prediger 2010). Die Steigung einer Strasse beispielsweise ist definiert als das Verh\u00e4ltnis des H\u00f6henunterschieds zur Horizontaldistanz; oder in Form einer Gleichung<\/p>\n
               m = Dy\/Dx<\/pre>\n
Diese Gleichung bezieht sich zwar auf einen bestimmten Kontext. Die einzelnen Gr\u00f6ssen haben eine bestimmte Interpretation und die Gleichheit gilt nur in diesem Zusammenhang, so wie das auch bei der kontextgebundenen<\/strong> Gleichheit (s.o.) der Fall ist. Nur wird hier nicht ein Zusammenhang zwischen drei unabh\u00e4ngig messbaren Gr\u00f6ssen mathematisch beschrieben, sondern die dritte Gr\u00f6sse, die Steigung, wird mittels der beiden anderen definiert<\/strong>. Die Gleichheit ist in diesem Fall also willk\u00fcrlich. Man h\u00e4tte auch etwas anderes festlegen k\u00f6nnen (beispielsweise m = Dy3<\/sup>\/Dx2<\/sup>), aber man hat sich nun einmal f\u00fcr diese Variante entschieden.<\/p>\n
Es geht hier also nicht um eine Gesetzm\u00e4ssigkeit, sondern um eine willk\u00fcrlich Festlegung, welche aus bestimmten praktischen Erw\u00e4gungen heraus getroffen wurde. Bei Lernenden, f\u00fcr die \u201eMathematik\u201c aus unumst\u00f6sslichen Wahrheiten aufgebaut ist (\u201e2+2 ist nun einmal 4<\/em>\u201c), kann dieses Element der Willk\u00fcrlichkeit verwirrend sein und muss thematisiert werden. Ein guter Ankn\u00fcpfungspunkt ist die Frage, warum wohl genau diese Definition gew\u00e4hlt wurde. Ein Gef\u00fchl daf\u00fcr k\u00f6nnen die Lernenden gewinnen, wenn sie Gelegenheit erhalten, spielerisch alternativen Definitionen zu erkunden.<\/p>\n
Solche willk\u00fcrlichen Definitionen sind h\u00e4ufiger, als man denkt. Beispielsweise sind die ganzen trigonometrischen Funktionen wie Sinus (=Gegenkathete\/Hypotenuse), Cosinus (=Ankathete\/Hypotenuse) und Tangens (=Gegenkathete\/Ankathete) Gr\u00f6ssen, die sich zwar als n\u00fctzlich erwiesen haben, die man aber auch anders h\u00e4tte definieren k\u00f6nnen.<\/p>\n
5 Die verschiedenen Bedeutungen kurz zusammengefasst<\/h1>\n
Alles in allem m\u00fcssen also mindestens die folgenden Bedeutungen unterschieden werden (Prediger 2010). Gelingt das den Lernenden nicht, sind Verwirrungen und Missverst\u00e4ndnisse unvermeidlich.<\/p>\n
    \n
  1. Operation<\/strong>\n
      \n
    • \u201eHier kommt die Antwort<\/em>\u201c: 24 : 6 – 3 = 1<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
    • Relation\n
        \n
      • \u201eMan kann das so oder so rechnen<\/em>\u201c
        \n(symmetrische arithmetische<\/strong> Gleichheit): 5 x 7 = 7 x 5<\/li>\n
      • \u201eF\u00fcr beliebige Zahlen erh\u00e4lt man auf beiden Seiten dasselbe Resu<\/em>ltat\u201c
        \n(formale Gleichheit<\/strong>): (a-b)(a+b)=a\u00b2-b\u00b2<\/li>\n
      • \u201eZwischen bestimmten Gr\u00f6ssen\/Messwerten gilt<\/em>\u201c
        \n(allgemeine kontextgebundene Gleichheit<\/strong>): Rechtwinkliges Dreieck, c Hypotenuse, a\u00b2+b\u00b2=c\u00b2<\/li>\n
      • \u201eIn diesem konkreten Fall gilt zwischen bestimmten Gr\u00f6ssen\/Messwerten<\/em>\u201c
        \n(spezifische kontextgebundene Gleichheit<\/strong>): Ein bestimmter Stromkreis, U Spannung, R Widerstand, I Stromst\u00e4rke, 220 Volt = 100 Ohm x I<\/li>\n
      • \u201eDie gesuchte Gr\u00f6sse muss folgende Bedingungen erf\u00fcllen<\/em>\u201c
        \n(Bedingungen f\u00fcr eine Unbekannte<\/strong>): gesucht x; es gilt x\u00b2=6-x<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
      • Definition <\/strong>\n