{"id":2171,"date":"2013-06-11T13:40:19","date_gmt":"2013-06-11T12:40:19","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=2171"},"modified":"2015-02-10T16:31:25","modified_gmt":"2015-02-10T15:31:25","slug":"rituale-werkzeuge-und-modelle","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/mathematische-werkzeuge\/rituale-werkzeuge-und-modelle\/","title":{"rendered":"Rituale, Werkzeuge und Modelle"},"content":{"rendered":"<p><a title=\"Als pdf \u00f6ffnen\" href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Rituale_und_Werkzeuge.pdf\" target=\"_blank\"><em>pdf<\/em><\/a>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Anna Sfard unterscheidet in einem Grundlagenwerk zur Mathematikdidaktik drei Formen \u201emathematischer Kommunikation\u201c: <i>Rituale<\/i>, <i>Taten<\/i> (deeds) und <i>Explorationen<\/i> (Sfard, 2008, S. 222 ff).<\/p>\n<p>Mit <i>Kommunikation<\/i> ist hier jede Interaktion zwischen Menschen gemeint, die es den Beteiligten erlaubt, ihr Handeln zu koordinieren. Pl\u00e4ne, Tabellen, Zahlen etc. sind sicher Mittel, die im beruflichen Alltag dazu dienen, das Handeln verschiedener Personen zu koordinieren. Jemand erstellt einen Plan eines Hauses; jemand anders schneidet auf Grund dieses Planes Rohre in bestimmte L\u00e4ngen und wieder jemand anders baut diese Rohre auf der Baustelle zu einer Abwasserleitung zusammen. In diesem Sinn kann man daher gut von <i>mathematischer Kommunikation<\/i> sprechen.<\/p>\n<p>Kommunikation, und damit auch <em>mathematische Kommunikation<\/em>, ist zielorientiert. Im Beispiel oben wird ein Ziel in der realen, physischen Umwelt angestrebt: Der Aufbau einer funktionierenden Abwasserleitung. Die drei Formen der mathematischen Kommunikation, die Sfard erw\u00e4hnt, unterscheiden sich danach, welcher Art von Ziel sie dienen:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Rituale:<\/strong> Bei der Teilnahme an einem <i>mathematischen Ritual<\/i> ist das Ziel die soziale Akzeptanz durch die Gemeinschaft. Sfard erw\u00e4hnt als Beispiel ein kleines Kind, das Kl\u00f6tze abz\u00e4hlt. Die Anzahl der Kl\u00f6tze ist ihm unwichtig. Wichtig ist, dass die Erwachsenen ihm best\u00e4tigen, dass es richtig gez\u00e4hlt hat.<\/li>\n<li><strong>Taten:<\/strong> Der Bau der Abwasserleitung bzw. die <i>mathematische Kommunikation<\/i> in diesem Zusammenhang ist eine mathematische<i> Tat<\/i>. Wie erw\u00e4hnt wird hier die Mathematik als Werkzeug genutzt, um ein Ziel in der realen Welt zu erreichen.<\/li>\n<li><strong>Explorationen:<\/strong> Beim <i>mathematischen Explorieren<\/i> schliesslich geht es darum, neue <i>mathematische Geschichten<\/i> zu erz\u00e4hlen. Eine solche <i>Geschichte<\/i> k\u00f6nnte beispielsweise schl\u00fcssig darlegen, dass 3\/4 gr\u00f6sser ist als 2\/3. Das Ziel ist erreicht, wenn die Gemeinschaft die Darlegung als korrekte <i>mathematische Geschichte<\/i> akzeptiert.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Alle drei Formen lassen sich so \u00e4hnlich im Fachrechnen an Berufsfachschulen beobachten.<\/p>\n<h1>Rituale<\/h1>\n<p>Aus meiner Sicht ist die Mischrechnung mit dem <a title=\"Mathematische Instrumente modernisieren\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=1956#Mischkreuz\">Mischkreuz <\/a>ein klassisches <i>Ritual<\/i>. Bei der Mischrechnung geht es um folgende Fragestellung: Gebraucht werden beispielsweise 200 Liter Milch mit einem Fettgehalt von 2.8%. Zur Verf\u00fcgung stehen Magermilch mit 0.05% Fettgehalt und Vollmilch mit 3.8% Fettgehalt. Wie viel Milch jeder der beiden Sorten wird f\u00fcr die Mischung ben\u00f6tigt?<\/p>\n<p>Traditionell wird dies \u00fcber das <i>Mischkreuz<\/i> berechnet (Abbildung 1).<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-1966 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Mischkreuz.jpg\" alt=\"Mischkreuz\" width=\"400\" height=\"217\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Mischkreuz.jpg 400w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Mischkreuz-300x162.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/p>\n<p><em>Abbildung 1: Das Mischkreuz<\/em><\/p>\n<p>Auf der linken Seite werden die Konzentrationen der beiden Ausgangsprodukte eingetragen. Ins Zentrum kommt die erw\u00fcnschte Konzentration des Endprodukts. Dann wird \u201e\u00fcbers Kreuz\u201c subtrahiert: Rechts wird oben die Differenz zwischen der erw\u00fcnschten Konzentration und der Konzentration des unteren Ausgangsproduktes eingetragen. Und unten die Differenz der erw\u00fcnschten Konzentration zur Konzentration des oberen Ausgangsproduktes. Das Verh\u00e4ltnis der beiden errechneten Werte entspricht dem Verh\u00e4ltnis, in dem die beiden Ausgangsprodukte gemischt werden m\u00fcssen.<\/p>\n<p>F\u00fcr viele Lernenden ist die Arbeit mit dem Mischkreuz ganz klar die Teilnahme an einem <i>Ritual<\/i>. Sie vollziehen die magischen Schritte ohne eine Ahnung davon zu haben, was sie hier machen. Ihnen geht es dabei nur um soziale Akzeptanz, beispielsweise in Form einer gen\u00fcgenden Note.<\/p>\n<p>Interessanterweise erf\u00fcllt dieses Ritual wie viele <i>Rituale<\/i> innerhalb der jeweiligen Berufsgruppe eine identit\u00e4tsstiftende Rolle. Beispielsweise musste im Projekt mit den <a title=\"Milchtechnologinnen und Milchtechnologen\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=211\">Milchtechnologen <\/a>das <i>Mischkreuz<\/i> explizit in einer Lernumgebung vorkommen, denn etwas \u00fcberspitzt formuliert, sind die Milchtechnologen ohne das <i>Mischkreuz<\/i> keine Milchtechnologen mehr.<\/p>\n<p>Selbstverst\u00e4ndlich wurde von den Milchtechnologen angef\u00fchrt, dass das <i>Mischkreuz<\/i> kein leeres <i>Ritual<\/i> sei. Man k\u00f6nne mit seiner Hilfe sehr wohl das gesuchte Verh\u00e4ltnis ermitteln. Und folglich sollte man die Verwendung des <i>Mischkreuzes<\/i> als <i>Tat<\/i> und nicht als <i>Ritual<\/i> einstufen.<\/p>\n<p>Dass es sich fr\u00fcher tats\u00e4chlich einmal um eine <i>Tat<\/i> gehandelt hat, l\u00e4sst sich nicht bestreiten. Zu Zeiten, als es noch keine Taschenrechner und Computer gab, war das <i>Mischkreuz<\/i> sicher ein sehr n\u00fctzliches und handliches <i>Werkzeug<\/i>. Aber heute erledigt ein kleines Computerprogramm die Berechnung schneller und pr\u00e4ziser. Das <i>Mischkreuz<\/i> ist eine ehemalige <i>Tat<\/i>, die ihren Sinn verloren hat und zum <i>Ritual<\/i> geworden ist.<\/p>\n<p>Das ist nicht untypisch f\u00fcr <i>Rituale<\/i>. Auch die z\u00e4hlenden Kinder tun etwas, das in einen anderen Zusammenhang eine <i>Tat <\/i>sein k\u00f6nnte \u2013 die Kl\u00f6tze sind am Schluss im Prinzip gez\u00e4hlt und diese Zahl k\u00f6nnte weiterverwendet werden. Nur steht diese <i>Tat<\/i> nicht im Zentrum und wird auch nicht bewusst begangen.\u00a0Typischerweise k\u00f6nnen kleine Kinder nach dem Ablauf des <em>Z\u00e4hlrituals<\/em> nicht sagen, wie viele Kl\u00f6tze vor ihnen liegen. Die letzte Zahl beim \u201eZ\u00e4hlen\u201c hat f\u00fcr sie keine andere Bedeutung, als dass das <i>Ritual<\/i> abgeschlossen ist. Genauso geht es den Lernenden bei der rituellen Anwendung des <i>Mischkreuzes<\/i>. Auch sie geben der ermittelten Zahl keine inhaltliche Bedeutung.<\/p>\n<p>Im Hinblick auf die Abz\u00e4hlrituale kleiner Kinder meint Anna Sfard zwar, dass manchmal der Einstieg in die Mathematik nur \u00fcber die Teilnahme an einem <i>Ritual<\/i> m\u00f6glich sei. Das mag f\u00fcr dieses ganz bestimmte Beispiel seine Richtigkeit haben. Werden aber tats\u00e4chlich <i>Taten<\/i> ben\u00f6tigt, ist der Verlass auf <i>Rituale<\/i> gef\u00e4hrlich. Denn da sie ohne Wissen \u00fcber ihr Funktionieren ausgef\u00fchrt werden, gibt es f\u00fcr die Ritualteilnehmer auch keine M\u00f6glichkeit zu erkennen, ob das <i>Ritual<\/i> in der jeweiligen konkreten Berechnungssituation zweckm\u00e4ssig eingesetzt ist und zweckm\u00e4ssig abl\u00e4uft. Anna Sfard h\u00e4lt dann auch fest, dass man ein <i>Ritual<\/i> nicht anpassen kann. Treten Schwierigkeiten auf, kann man diese nur beheben, indem man das <i>Ritual <\/i>in voller L\u00e4nge nochmals durchspielt (Sfard, 2008, S. 243).<\/p>\n<h1>Werkzeuge<\/h1>\n<p>Mathematische <i>Taten<\/i> begehen zu k\u00f6nnen, d.h. mathematische <i>Werkzeuge<\/i> bewusst und kontrolliert einzusetzen, setzt voraus, dass Wissen \u00fcber <a title=\"Drei Welten\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=202\">drei verschiedene Welten<\/a> zusammenwirkt.<\/p>\n<p><strong>Die Welt der realen Dinge:<\/strong> Um im Beispiel mit der Abwasserleitung Rohre von der richtigen L\u00e4nge herstellen zu k\u00f6nnen, muss man einiges \u00fcber diese Rohre und auch \u00fcber andere Dinge in der realen Welt wissen. Beispielsweise muss man wissen, dass Kunststoffrohre beim Verschweissen etwas k\u00fcrzer werden, also etwas l\u00e4nger geplant werden m\u00fcssen. Bei Metallrohren dagegen muss man einen kleinen Zwischenraum f\u00fcr die Schweissnaht offen lassen, man muss sie also etwas zu kurz planen.<\/p>\n<p><strong>Die Welt der mathematische Zusammenh\u00e4nge:<\/strong> Die L\u00e4ngen der verschiedenen Rohre lassen sich als Zahlen ausdr\u00fccken. Diese Zahlen stehen zueinander in bestimmten Beziehungen, bilden ein mathematisches Modell. Eine einfache solche Beziehung ist, dass die gesamte L\u00e4nge mehrerer aneinander gereihter R\u00f6hren gleich der Summe der einzelnen L\u00e4ngen ist. Etwas weniger einfach ist der Zusammenhang zwischen der L\u00e4nge der R\u00f6hre 3) in Abbildung 2 und den angezeichneten 64 cm.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2175 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Abwasser_Installation.jpg\" alt=\"Abwasser_Installation\" width=\"402\" height=\"166\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Abwasser_Installation.jpg 402w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Abwasser_Installation-300x123.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 402px) 100vw, 402px\" \/><\/p>\n<p><em>Abbildung 2: Schema einer Abwasserleitung<\/em><\/p>\n<p><strong>Die Welt der Rechenverfahren:<\/strong> Mit Hilfe der Zusammenh\u00e4nge lassen sich aus bekannten Gr\u00f6ssen unbekannte Gr\u00f6ssen errechnen. Da die L\u00e4ngen aller Teilst\u00fccke zusammen die Gesamtl\u00e4nge ergeben, kann man beispielsweise aus der Gesamtl\u00e4nge und den bekannten L\u00e4ngen einzelner Teilst\u00fccke die unbekannte L\u00e4nge der fehlenden R\u00f6hre errechnen. Das dazu passende Verfahren ist selbstverst\u00e4ndlich, dass man von der Gesamtl\u00e4nge die bekannten L\u00e4ngen subtrahiert.<\/p>\n<p>Eine mathematische <i>Tat<\/i> wird nur m\u00f6glich, wenn man bez\u00fcglich der sich stellenden Aufgabe in allen drei Welten \u00fcber gen\u00fcgend Wissen verf\u00fcgt und wenn man in der Lage ist, dieses Wissen situationsangemessen zu kombinieren. Erst dann funktioniert die Mathematik, die <i>mathematische Kommunikation<\/i>, wie ein <i>Werkzeug<\/i>.<\/p>\n<p>Im beruflichen Alltag geht es selbstverst\u00e4ndlich oft darum, Mathematik als <i>Werkzeug<\/i> zu gebrauchen um <i>Taten<\/i> zu vollbringen. Sei es nun, dass man die passende L\u00e4nge von Rohren bestimmt, sei es, dass man in der K\u00fcche Rezeptangaben von 10 Personen auf 45 Personen umrechnet, sei es, dass eine Pflegende \u00fcberlegt, wie viele Milliliter eines Medikaments sie aufziehen muss etc.<\/p>\n<p>Diese Integration des notwendigen Wissens zu einem flexiblen Werkzeug k\u00f6nnen <i>Rituale<\/i> nicht leisten. Die Ausf\u00fchrung eines <i>mathematischen Rituals<\/i> spielt sich nur in der Welt der Rechenverfahren ab.\u00a0Das Resultat hat keinen Bezug zur Welt der realen Dinge. Und die einzelnen Schritte im Ablauf sind nicht mit mathematischen Zusammenh\u00e4ngen hinterlegt und k\u00f6nnen somit weder sinnvoll angepasst noch \u00fcberpr\u00fcft werden.<\/p>\n<p>Beispiele f\u00fcr Mathematik als Werkzeug lassen sich in folgenden Lernumgebungen finden:<\/p>\n<h3>K\u00f6che<\/h3>\n<ul>\n<li><a title=\"Lernumgebung herunterladen\" href=\"http:\/\/www.hotelgastro.ch\/pix\/files\/Rezeptangaben-umrechnen_d_low.pdf\" target=\"_blank\">Rezeptangaben umrechnen<\/a> \u2013 Wie viele Eier muss ich aufschlagen?<\/li>\n<li><a title=\"Lernumgebung herunterladen\" href=\"http:\/\/www.hotelgastro.ch\/pix\/files\/Volumen-berechnen_d_low.pdf\" target=\"_blank\">Gef\u00e4sse w\u00e4hlen<\/a> \u2013 Wie viele F\u00f6rmchen brauche ich?<\/li>\n<li><a title=\"Lernumgebung herunterladen\" href=\"http:\/\/www.hotelgastro.ch\/pix\/files\/Verluste-aller-Art-einberechnen_d_low.pdf\" target=\"_blank\">Verlustrechnung <\/a>\u2013 Wie viel muss ich einkaufen\/bestellen?<\/li>\n<li><a title=\"Lernumgebung herunterladen\" href=\"http:\/\/www.hotelgastro.ch\/pix\/files\/Warenkosten%2010.08.2011-d-low.pdf\" target=\"_blank\">Warenkosten <\/a>&#8211; Was kosten mich alle ben\u00f6tigten Zutaten?<\/li>\n<li><a title=\"Lernumgebung herunterladen\" href=\"http:\/\/www.hotelgastro.ch\/pix\/files\/Die-Zeit-im-Griff-haben_d_low.pdf\" target=\"_blank\">Zeitmanagement <\/a>\u2013 Wann muss der Braten in den Ofen?<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Haustechniker<\/h3>\n<ul>\n<li><a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Beispiele\/Lernumgebung_Rohrlaengen_bei_Abwasserinstallationen.pdf\" target=\"_blank\">Abwasserinstallation:<\/a> Rohre in der richtigen L\u00e4nge vorbereiten f\u00fcr eine verzweigte Abwasserleitung.<\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Beispiele\/Lernumgebung_Rohrabstand_Lagendefinition.pdf\" target=\"_blank\">Rohrabstand:<\/a> Rohre in gleichm\u00e4ssigen Abst\u00e4nden nebeneinander anordnen.<\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Beispiele\/Lernumgebung_Heizungsverteiler.pdf\" target=\"_blank\">Heizungsverteiler:<\/a> Rohre in der richtigen L\u00e4nge vorbereiten f\u00fcr einen komplexen Aufbau mit Ventilen, Kugelhahnen und Umw\u00e4lzpumpen.<\/li>\n<\/ul>\n<h1>Explorationsmodelle<\/h1>\n<p>Die dritte Kategorie bei Sfard sind <i>Explorationen<\/i>. Auch diese lassen sich im Kontext des Fachrechnens finden. Beispielsweise wird von K\u00f6chinnen und K\u00f6chen auf der Stufe EFZ nicht erwartet, dass sie Preisberechnungen ausf\u00fchren, dass sie also aufgrund von Berechnungen festlegen,\u00a0welchen Preis sie f\u00fcr den Tagesteller verlangen m\u00fcssen, um einen bestimmten Gewinn zu machen. Daf\u00fcr gibt es verschiedene Gr\u00fcnde: Einmal handelt es sich dabei ganz einfach um ein Thema der h\u00f6heren Fachbildung; auf der Stufe EFZ stehen andere Fragen im Zentrum. Zum zweiten m\u00fcssten in eine Berechnung dieser Art Angaben einfliessen,\u00a0die oft nicht genau bekannt sind und durch Annahmen ersetzt werden m\u00fcssen; eine exakte Kalkulation ist somit gar nicht m\u00f6glich. Und zum dritten wird vermutlich der Preis eines Tagestellers selten \u00fcber Berechnungen festgelegt; entscheidender d\u00fcrfte sein, was die Konkurrenz macht und wie man sich davon abheben kann\/will.<\/p>\n<p>Es macht aber trotzdem Sinn, sich im Unterricht damit auseinander zu setzen, was bei der Herstellung eines Tagestellers alles f\u00fcr Kosten anfallen. Tut man das nicht, dann k\u00f6nnte man etwa der Meinung sein, dass es bei einem Tagesteller f\u00fcr 18.- Fr. kaum eine grosse Rolle spielt, ob die ben\u00f6tigten Zutaten zusammen im Einkauf 6.- Fr. oder 8.- Fr. kosten. Die Differenz zwischen Preis und Warenkosten ist in beiden F\u00e4llen betr\u00e4chtlich. Weiss man aber, dass normalerweise die Warenkosten nur etwa 1\/3 der anfallenden Kosten ausmachen, sieht die Sache etwas anders aus (Abbildung 3).<\/p>\n<p>Ziel von <i>Explorationen<\/i> ist es nicht, ganz bestimmte Aufgaben zu l\u00f6sen (also beispielsweise die exakten Kosten f\u00fcr einen bestimmten Tagesteller zu berechnen), sondern Zusammenh\u00e4nge zu erkunden: Wenn man die Warenkosten erh\u00f6ht, wie ver\u00e4ndern sich dann die Gesamtkosten? Wenn man den Fettgehalt der Mischung erh\u00f6hen will, von welchem Ausgangsprodukt muss man dann mehr nehmen, von welchem weniger? Etc.<\/p>\n<p>Die Nutzung der Mathematik als <i>Modell<\/i>, um solche Fragen durchzuspielen, ist ebenfalls darauf angewiesen, dass Wissen \u00fcber die reale Welt und Wissen \u00fcber mathematische Zusammenh\u00e4nge in Verbindung gebracht werden, denn schliesslich soll das Modell ja Aussagen \u00fcber reale Zusammenh\u00e4nge erm\u00f6glichen. Allerdings darf in diesem Fall etwas grossz\u00fcgiger mit Details umgegangen werden.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2184 aligncenter\" style=\"border: 1px solid black;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Kosten_Gastronomie.jpg\" alt=\"Kosten_Gastronomie\" width=\"472\" height=\"239\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Kosten_Gastronomie.jpg 472w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Kosten_Gastronomie-300x151.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 472px) 100vw, 472px\" \/><\/p>\n<p><em>Abbildung 3: Kostenzusammensetzung in der Gastronomie<\/em><\/p>\n<p>Beim Erkunden solcher Modelle spielen manchmal auch Rechenverfahren eine Rolle. Aber auch hier gen\u00fcgen oft grobe N\u00e4herungen. Es sind keine exakten Berechnungen n\u00f6tig, um ein Gef\u00fchl f\u00fcr die Zusammenh\u00e4nge zu erhalten.<\/p>\n<p>Beispiele f\u00fcr Mathematik als <i>Explorationsmodell<\/i> lassen sich in folgenden Lernumgebungen finden:<\/p>\n<h3>K\u00f6che<\/h3>\n<ul>\n<li><a title=\"Lernumgebung herunterladen\" href=\"http:\/\/www.hotelgastro.ch\/pix\/files\/Preise-kalkulieren_d_low.pdf\" target=\"_blank\">Preiskalkulation <\/a>\u2013 Verdienen wir \u00fcberhaupt etwas?<\/li>\n<li><a title=\"Lernumgebung herunterladen\" href=\"http:\/\/www.hotelgastro.ch\/pix\/files\/Kosten%20optimieren%2010.08.2011-d-low.pdf\" target=\"_blank\">Optimierungsm\u00f6glichkeiten <\/a>\u2013 Soll ich ganze Fische bestellen oder Filets?<\/li>\n<\/ul>\n<h1>Rituale, Werkzeuge oder Modelle?<\/h1>\n<p><i>Rituale<\/i> haben in der Berufsbildung nichts verloren. Was Lernende nur in Form eines <i>Rituals<\/i> erwerben k\u00f6nnen, kann immer durch ein kleines Computerprogramm schneller und verl\u00e4sslicher erledigt werden. Die Lernenden \u201everstehen\u201c nicht mehr vom Vorgang, wenn sie die notwendigen Daten anstatt in die Eingabefelder eines Computerprogramms in die Felder des <i>Mischkreuzes<\/i> eingeben.<\/p>\n<p>Aber nat\u00fcrlich w\u00e4re die blinde Benutzung eines Computerprogramms genauso ein <i>Ritual<\/i> wie das blinde Ausf\u00fcllen der Felder des <i>Mischkreuzes<\/i>. Um ein Computerprogramm als <i>Werkzeug<\/i> nutzen zu k\u00f6nnen, braucht es eine Vorstellung der entsprechenden Zusammenh\u00e4nge: Welche Ver\u00e4nderung ist zu erwarten, wenn ich diese Eingabegr\u00f6sse ver\u00e4ndere? In welcher Gr\u00f6ssenordnung wird diese Ver\u00e4nderung sein? Etc.<\/p>\n<p>Die <a title=\"Handfestes Modellieren\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=198\">Arbeit <\/a>mit entsprechenden <i>Modellen<\/i> liefert hier das notwendige Verst\u00e4ndnis. Allerdings eigenen sich die tradierten Rechenverfahren wie das <i>Mischkreuz<\/i> nicht als <i>Modelle<\/i>. Sie waren einmal <i>Werkzeuge<\/i> und sind darauf hin optimiert worden, dass man mit ihnen schnell und ohne viel nachzudenken einen Berechnungsablauf abspulen kann. Andere Formen wie <a title=\"Tabellen statt Formeln\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=2109\">tabellarische Zusammenstellungen<\/a> mit Hilfe einer Tabellenkalkulationssoftware oder <a title=\"Mathematische Instrumente modernisieren\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=1956#Mischkreuz\">animierte graphische Darstellungen<\/a> eignen sich hier besser.<\/p>\n<p>Wie erw\u00e4hnt, setzt das Beherrschen eines <i>Werkzeugs<\/i>, d.h. das Vollbringen von <i>Taten<\/i>, voraus, dass man \u00fcber gen\u00fcgend Wissen in allen drei Welten (reale Dinge, mathematische Zusammenh\u00e4nge und Rechenverfahren) verf\u00fcgt und dieses Wissen flexibel und situationsgerecht einsetzen kann. Diesen Punkt zu erreichen ist nicht einfach und braucht einiges an Aufwand. Da die Zeit, in der man mit den Lernenden daran arbeiten kann, typischerweise knapp ist, lohnt es sich daher, immer genau abzukl\u00e4ren, ob wirklich ein <i>Werkzeug<\/i> erforderlich ist \u2013 oder ob man im realen Berufsalltag die <i>Taten<\/i> nicht besser jemand anderem \u00fcberl\u00e4sst (beispielsweise einem Computerprogramm) und sich daf\u00fcr im Unterricht auf <i>Explorationen<\/i> mit einem <i>Modell<\/i> konzentriert.<\/p>\n<h1>Erw\u00e4hnte Literatur<\/h1>\n<ul>\n<li>Kaiser, H. (2009). Modelle bauen und begreifen. Mehr als blindes Rechnen bei angewandten Aufgaben. In L. Hefendehl-Hebeker, T. Leuders &amp; H.-G. Weigand (Eds.), <em>Mathemagische Momente<\/em> (pp. 74-85). Berlin: Cornelsen.<\/li>\n<li>Sfard, A. (2008). <i>Thinking as communicating: human development, the growth of discourses, and mathematizing<\/i>. Cambridge: Cambridge University Press.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>pdf\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Anna Sfard unterscheidet in einem Grundlagenwerk zur Mathematikdidaktik drei Formen \u201emathematischer Kommunikation\u201c: Rituale, Taten (deeds) und Explorationen (Sfard, 2008, S. 222 ff). 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