{"id":2109,"date":"2013-06-06T13:42:01","date_gmt":"2013-06-06T12:42:01","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=2109"},"modified":"2016-02-18T20:28:45","modified_gmt":"2016-02-18T19:28:45","slug":"tabellen-statt-formeln","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/mathematische-werkzeuge\/tabellen-statt-formeln\/","title":{"rendered":"Tabellen statt Formeln"},"content":{"rendered":"<p><a title=\"Als pdf \u00f6ffnen\" href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Tabellen_statt_Formeln.pdf\" target=\"_blank\"><em>pdf\u00a0\u00a0\u00a0 <\/em> <\/a> Im beruflichen Alltag spielen einfache Proportionalit\u00e4ts\u00fcberlegungen eine grosse Rolle: Wenn doppelt so viele G\u00e4ste kommen, muss ich doppelt so viel Reis kochen; wenn die Spannung doppelt so gross ist, fliesst doppelt so viel Strom; wenn ich heute nur ein Stockwerk an Stelle von zwei reinigen muss, sollte ich in der H\u00e4lfte der Zeit fertig sein.<\/p>\n<p>All diese Zusammenh\u00e4nge lassen sich elegant und knapp als Formel darstellen. Einige dieser Formeln haben es dabei sogar zu einer gewissen Ber\u00fchmtheit gebracht, so etwa U=R\u00d7I f\u00fcr den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung.<\/p>\n<p>Formeln sind aber eine Art stenographische Notation. Es braucht viel Routine, um damit arbeiten zu k\u00f6nnen, um beispielsweise zu sehen, welchen Einfluss die Ver\u00e4nderung einer Gr\u00f6sse auf andere Gr\u00f6ssen hat (Devlin, 2012). Alternativ lassen sich jedoch proportionale Zusammenh\u00e4nge auch als Tabellen darstellen. Und diese Art der Darstellung eignet sich besser f\u00fcr den <a title=\"Relevante mathematische Instrumente zusammenstellen\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=1765\">allt\u00e4glichen Gebrauch<\/a>.<\/p>\n<h1>Nursing Rule<\/h1>\n<p>Ein Beispiel daf\u00fcr stammt aus einer Untersuchung aus England: Im Rahmen eines Forschungsprojektes wurden Pflegende in einem Kinderspital beobachtet, wie sie eine Infusion vorbereiteten (Hoyles, Noss, &amp; Pozzi, 2001). Wie \u00fcblich hatte der Arzt oder die \u00c4rztin festgelegt, wie viel Milligramm eines Wirkstoffs ein bestimmtes Kind erhalten sollte \u2013 beispielsweise 180 mg. Zur Verf\u00fcgung standen standardisierte Packungen, die jeweils 120 mg Wirkstoff gel\u00f6st in 10 ml Fl\u00fcssigkeit enthielten. Die Pflegenden mussten sich beim Vorbereiten der Infusion also \u00fcberlegen, wie viele Packungen sie ben\u00f6tigten, um die vorgegebene Menge Wirkstoff zu erreichen.<\/p>\n<p>Nat\u00fcrlich kann man diesen Zusammenhang mit Hilfe einer Formel darstellen. Etwa so:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2115 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Formel_zwei_gleiche_proportionen.jpg\" alt=\"Formel_zwei_gleiche_proportionen\" width=\"48\" height=\"39\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>a: Wirkstoffmenge in der Standardpackung (mg)<\/li>\n<li>b: Volumen der Standardpackung (ml)<\/li>\n<li>c: Verordnete Wirkstoffmenge (mg)<\/li>\n<li>d: Ben\u00f6tigtes Volumen (ml)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Selbstverst\u00e4ndlich k\u00f6nnte man diese Formeln nun nutzen, um jede beliebige der vier Gr\u00f6ssen aus den restlichen drei zu errechnen. Da im Berufsalltag aber immer dieselbe Gr\u00f6sse gefragt ist \u2013 das ben\u00f6tigte Volumen \u2013 wird in England in den Schulen die Formel nach dieser Gr\u00f6sse aufgel\u00f6st gelehrt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2074 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/nursing_rule.jpg\" alt=\"nursing_rule\" width=\"484\" height=\"39\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/nursing_rule.jpg 484w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/nursing_rule-300x24.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 484px) 100vw, 484px\" \/><\/p>\n<p>Bekannt ist diese Formel als <em>nursing rule<\/em>. Mit den Zahlen des Beispiels:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2077 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/nursing_rule_beispiel.jpg\" alt=\"nursing_rule_beispiel\" width=\"230\" height=\"35\" \/><\/p>\n<p>Der Unterricht in den Berufsfachschulen tr\u00e4gt also dem Umstand Rechnung, dass von den potentiell m\u00f6glichen vier Rechenaufgaben im beruflichen Alltag real nur eine auftritt. Und mit der Wahl der Begriffe wird versucht, eine direkte Verbindung zu dieser Situation herzustellen. Sowohl Lehrenden wie auch Vorgesetzte im Spital best\u00e4tigten den Forschern auf Anfrage, dass die Berechnung mit Hilfe dieser Formel die Methode sei, mit der die Aufgabe im Alltag professionell gel\u00f6st w\u00fcrde.<\/p>\n<p>Die Forscher beobachteten anschliessend Pflegende im Berufsalltag um zu sehen, wie diese wirklich vorgehen. Und dabei zeigte sich, dass die wenigsten Pflegenden zu Papier und Bleistift oder dem Taschenrechner greifen und die Formel einsetzen. Vielmehr schienen sie ausgehend von dem Zahlenpaar auf der Packung (z.B. 120 mg in 10 ml) vor ihrem inneren Auge das Bild von zwei parallelen Skalen zu bilden; etwa wie folgt:<\/p>\n<table style=\"width: 40%; margin-left: 30%; margin-right: 30%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 33%;\"><strong>120 mg<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none none solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 33%;\"><strong>10 ml<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">60 mg<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none none solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">5 ml<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">30 mg<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none none solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">2.5 ml<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">6 mg<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none none solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">0.5 ml<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid none none; border-width: 1px; text-align: center;\">3 mg<\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\">0.25 ml<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Wird nun beispielsweise eine Dosis von 30 mg verlangt, wandern sie auf beiden Skalen gleichzeitig in die entsprechende Richtung. Dabei machen sie rechnerisch einfach zu bew\u00e4ltigende Spr\u00fcnge, also z.B. von 120mg\/10ml zu 60mg\/5ml (halbieren) und dann zu 30mg\/2.5ml (nochmals halbieren). So k\u00f6nnen sie schnell und mit grosser Sicherheit die jeweils ben\u00f6tigte Fl\u00fcssigkeitsmenge bestimmen.<\/p>\n<p>Dieses Alltagswerkzeug hat gegen\u00fcber der <i>nursing rule<\/i> verschiedene Vorteile. Vor allem ist sein Gebrauch viel weniger fehleranf\u00e4llig. Dasselbe innere Bild von \u201eMilligramm Wirkstoff gel\u00f6st in Milliliter Fl\u00fcssigkeit\u201c bleibt w\u00e4hrend des ganzen Vorgangs erhalten. Es kommt zu keinen Zwischenresultaten (wie nach dem Dividieren bei der <i>nursing rule<\/i>), die schwierig zu interpretieren sind. Es entstehen daher kaum unentdeckte Rechnungsfehler. Und schon gar keine wirklich gef\u00e4hrlichen, wie sie beim Rechnen nach der <i>nursing rule<\/i> auftreten k\u00f6nnen, wenn man sich beispielsweise beim Dividieren um eine Kommastelle vergreift und pl\u00f6tzlich das Zehnfache des richtigen Wertes erh\u00e4lt. Entsprechend beobachteten die Forscher in \u00fcber 80 Situationen auch keine Fehler, obwohl die ben\u00f6tigten Mengen alle im Kopf berechnet wurden.<\/p>\n<h1>Milchtechnologen<\/h1>\n<p style=\"text-align: left;\">In der modernen Mathematikdidaktik ist es nicht un\u00fcblich, proportionale Zusammenh\u00e4nge in Form von Wertetabellen als \u201eparallele Skalen\u201c zu behandeln. In vielen Lehrmitteln findet man Aufgaben der folgenden Art:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2119 aligncenter\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Gorgonzola_Preise.jpg\" alt=\"Gorgonzola_Preise\" width=\"483\" height=\"99\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Gorgonzola_Preise.jpg 483w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Gorgonzola_Preise-300x61.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 483px) 100vw, 483px\" \/><\/p>\n<p>Das Interessante am Vorgehen der Pflegenden ist aber, dass die Tabelle nicht dazu dient, um darauf aufbauend die <i>nursing rule<\/i> zu lernen oder um die <i>nursing rule<\/i> zu \u00fcben. Die Tabelle bzw. das Bild der parallelen Skalen ist das mathematische Instrument der Wahl, das im beruflichen Alltag eingesetzt wird.<\/p>\n<p>Aus der Forschung weiss man auch, dass Lernende auf der Sekundarstufe I, wenn sie mit solchen Instrumenten arbeiten, deutlich weniger Fehler machen, als wenn sie Formeln einsetzen. In einer Untersuchung wurden bei Einsatz von Formeln nur 30% der Aufgaben richtig gel\u00f6st. Beim Einsatz andere Instrumente gab es hingegen 80% richtige L\u00f6sungen (Hafner, 2012).<\/p>\n<p>Ein Grund daf\u00fcr d\u00fcrfte sein, dass beim Arbeiten mit parallelen Skalen keine Zwischenresultate entstehen, die nicht interpretiert werden (k\u00f6nnen) \u2013 wie etwa das Resultat nach der Division bei der <i>nursing rule<\/i>.<\/p>\n<p>Man kann solchen \u201eZwischengr\u00f6ssen\u201c eine Interpretation als \u201eProportionalit\u00e4tsfaktor\u201c geben: Im Arbeitsalltag der <a title=\"Milchtechnologinnen und Milchtechnologen\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=211\">Milchtechnologen <\/a>ist es typischerweise so, dass die angelieferte Milch in Liter gemessen, aber sp\u00e4ter dann in Kilogramm abgerechnet wird. Daher muss irgendwann die Milchmenge von Liter in Kilogramm umgerechnet werden. Auch dieser Zusammenhang l\u00e4sst sich als Formel darstellen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><em>m = d x V<\/em><\/p>\n<ul>\n<li>V: Volumen der angelieferten Milch (l)<\/li>\n<li>d:\u00a0 Dichte der Milch (kg\/l)<\/li>\n<li>m: Masse der angelieferten Milch (kg)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Der hier relevante Proportionalit\u00e4tsfaktor, die Dichte, hat also sogar einen Namen. Allerdings haben die Lernenden erfahrungsgem\u00e4ss trotzdem enorm M\u00fche, sich darunter etwas vorzustellen. Dies \u00e4ussert sich unter anderem darin, dass sie sich die mit der Dichte verbundenen Masseinheiten nicht merken k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Auch hier erlaubt die Formel im Prinzip aus jeweils zwei Angaben die dritte zu berechnen. Im beruflichen Alltag tritt aber nur eine dieser M\u00f6glichkeiten auf, n\u00e4mlich die Umrechnung von Volumen in Masse. Und auch das l\u00e4sst sich gut als parallele Skalen handhaben und in Form einer Tabelle darstellen:<\/p>\n<table style=\"width: 40%; margin-left: 30%; margin-right: 30%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 33%; border: 1px solid #000000;\"><strong>Liter<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 33%;\"><strong>kg<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1.030<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">100<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">103<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">1000<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1030<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Um mit dieser Berechnungssituation umgehen zu k\u00f6nnen, m\u00fcssen angehenden Milchtechnologen so einfach wissen, wie schwer ein Liter Milch ist. Diese Information in der ersten Zeile der Tabelle verankert die beiden Skalen gegenseitig. Die anderen Zeilen ergeben sich daraus ohne weiteres und viele Werte k\u00f6nnen problemlos im Kopf generiert werden.<\/p>\n<p>Diese Darstellung und dieses Vorgehen haben den Vorteil, dass sie das Ganze auf das in der Anwendungssituation Wesentliche reduziert. Die \u201eDichte\u201c erh\u00e4lt eine kontextbezogene konkrete Interpretation: Das Gewicht eines Liters Vollmilch. Dass diese Angabe in der Physik \u201eDichte\u201c genannt wird, ist in diesem Kontext irrelevant. (Auch wenn es im Rahmen der beruflichen Grundbildung im Hinblick auf allgemeinbildende Ziele behandelt werden kann und soll.)<\/p>\n<h1>Tabellen als mathematisches Modell und Werkzeug bei einfacher Proportionalit\u00e4t<\/h1>\n<p>Um mit Tabellen zu arbeiten, eignen sich vor allem einmal einfache proportionale Zusammenh\u00e4nge im Sinne der erw\u00e4hnten Beispiele: \u201eWenn ich das hier verdopple, muss ich auch jenes dort verdoppeln\u201c. Tabellen dieser Art lassen sich besonders einfach interpolieren und erweitern. Beispiele, die irgendwo in einem beruflichen oder privaten Handlungskontext eine Rolle spielen, gibt es viele:<\/p>\n<ul>\n<li>Preis und Menge: Ein St\u00fcck kostet 2.50 Fr.; zwei St\u00fcck \u2026; zehn St\u00fcck \u2026<\/li>\n<li>Prozente: 10% Rabatt sind 11.- Fr.; 20% \u2026; 40% \u2026<\/li>\n<li><a title=\"K\u00f6chinnen und K\u00f6che\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=209\">Zutaten und Anzahl Portionen<\/a>: F\u00fcr 4 Personen 300 g Reis; f\u00fcr 2 Personen \u2026; f\u00fcr 10 Personen \u2026<\/li>\n<li>Farbe und Fl\u00e4che: 1 K\u00fcbel f\u00fcr 12 m<sup>2<\/sup>; 2 K\u00fcbel f\u00fcr \u2026; 5 K\u00fcbel f\u00fcr \u2026<\/li>\n<li>Euro und Franken: 1 Euro kostet 1.25 Fr; 20 Euro \u2026; 100 Euro \u2026<\/li>\n<li>Distanz und Zeit: F\u00fcr 60 km eine Stunde; f\u00fcr 30 km \u2026; f\u00fcr 90 km \u2026<\/li>\n<li>Flaschen und Packungen: In einer Packung 6 Flaschen; in 2 Packungen \u2026; in 3 Packungen \u2026<\/li>\n<li>Benzinverbrauch und Distanz: F\u00fcr 100 km 6 Liter; f\u00fcr 125 km \u2026; f\u00fcr 50 km \u2026<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: left;\">Allen diesen Beispielen gemeinsam ist, dass sie als Ausgangspunkt ein Verh\u00e4ltnis haben, das durch den Kontext gegeben ist (Art der Packung, Art des Fahrzeugs, aktueller Wechselkurs, Angaben im Kochbuch etc.). Dieses kann in einer tabellarischen Darstellung als Ankerzeile genutzt werden, von der aus andere \u201eZeilen\u201c exploriert werden k\u00f6nnen:<\/p>\n<table style=\"width: 50%; margin-left: 15%; margin-right: 35%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr style=\"line-height: 1.0em;\">\n<td style=\"text-align: center; width: 33%; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33%; border: 1px solid #000000;\"><strong>Euro<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 33%;\"><strong>Franken<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">0.50<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><strong>Ankerzeile<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>1<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>1.25<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">2.50<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Diese Exploration kann in vier Richtungen erfolgen: In jeder Spalte sowohl nach unten wie nach oben. H\u00e4ufig f\u00fchren dabei Verdoppeln oder Halbieren der Werte zu neuen n\u00fctzlichen Wertepaaren.<\/p>\n<p>Hier ein Beispiel aus einer Lernumgebung f\u00fcr die Ausbildung zum G\u00e4rtner\/zur G\u00e4rtnerin:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2125 aligncenter\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Duengen_nach_Etikette.jpg\" alt=\"Duengen_nach_Etikette\" width=\"453\" height=\"389\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Duengen_nach_Etikette.jpg 453w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Duengen_nach_Etikette-300x257.jpg 300w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Duengen_nach_Etikette-349x300.jpg 349w\" sizes=\"auto, (max-width: 453px) 100vw, 453px\" \/><\/p>\n<p>Erfahrungsgem\u00e4ss sind die Lernenden beim Bearbeiten solcher Aufgaben sehr erfinderisch und w\u00e4hlen unterschiedlichste Strategien, bei denen sie sich wohl f\u00fchlen. Eine Lehrende berichtet:<\/p>\n<p><em>\u201eMit dem Instrument parallele Skalen liessen sich alle Aufgaben mit einer praxistauglichen Genauigkeit l\u00f6sen. Wo sie genauer sein wollten, haben die Lernenden nach einigem Herumprobieren anhand der Tabellen auch auf 1 Einheit zur\u00fcckgerechnet, um sie anschliessend mit dem gesuchten Wert zu multiplizieren. Und so den Dreisatz entdeckt! Und sofort wieder vergessen!<\/em><\/p>\n<p><em>Diese Situation hat sich mehrfach wiederholt. Ich habe den Lernenden zwar jeweils kurz erkl\u00e4rt, dass sie soeben den Dreisatz entdeckt h\u00e4tten und sich so jede der gestellten Aufgaben ganz schnell l\u00f6sen lasse. Das hat sie aber nicht weiter interessiert und ich habe nicht insistiert. Es schien mir wichtiger, dass die Lernenden den Spass am Rechnen mit parallelen Skalen auskosten k\u00f6nnen, als ihnen Neues zu zeigen, das sie als Belastung empfinden.<\/em><\/p>\n<p><em>Die Lernenden haben das Rechnen mit den parallelen Skalen intuitiv erfasst und hatten Spass daran, auch neue Tabellen auszuf\u00fcllen.\u201c<\/em><\/p>\n<h1>F\u00fcr Anspruchsvolle (1): Zusammenh\u00e4nge zwischen mehr als zwei Gr\u00f6ssen<\/h1>\n<p>Tabellarische Werkzeuge lassen sich auch auf Zusammenh\u00e4nge zwischen drei oder mehr Gr\u00f6ssen ausdehnen. Hier ein Beispiel f\u00fcr den Farbverbrauch beim Malen:<\/p>\n<table style=\"width: 80%; margin-left: 0%; margin-right: 20%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 20%; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20%; border: 1px solid #000000;\"><strong>L\u00e4nge<br \/>\n(m)<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 20%;\"><strong>Breite<br \/>\n(m)<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 20%;\"><strong>Fl\u00e4che<br \/>\n(m<sup>2<\/sup>)<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 20%;\"><strong>Farb-<br \/>\neimer<br \/>\n(Anzahl)<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><strong>Ankerzeile<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>4<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>3<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>12<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>1<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">12<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">8<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">9<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Die Ankerzeile hat in diesem Fall eine etwas andere Form als bisher. Sie beschreibt eine m\u00f6gliche Form eines Wandst\u00fccks, welches sich mit einem Eimer Farbe \u00fcberstreichen l\u00e4sst. Andere Formen mit derselben Fl\u00e4che lassen sich daraus durch \u201eStrecken\u201c und \u201eK\u00fcrzen\u201c gewinnen. Gleichzeitig ist noch eine vierte Gr\u00f6sse, die Anzahl Eimer, erfasst. Ver\u00e4ndert man die Gr\u00f6sse der Fl\u00e4che, \u00e4ndert sich nat\u00fcrlich Anzahl Eimer entsprechend.<\/p>\n<p>Spannend ist folgende Tabelle, die im Unterricht f\u00fcr Elektromonteure zum Einsatz kommt und ebenfalls zwei Zusammenh\u00e4nge vereint.<\/p>\n<p align=\"center\"><em>U = R x I<\/em> \u00a0\u00a0 und\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0<em> P = U x I<\/em><\/p>\n<p>Als Ankerzeile sind Werte in einer Gr\u00f6ssenordnung eingef\u00fcgt, wie die Elektromonteure sie in ihrem normalen Berufsalltag antreffen (1A und 230V). Die Tabelle entspricht den \u00fcblichen Fragestellungen aus diesem Berufsalltag: Die Spannung ist gegeben (im Haushaltsbereich 230V) und ein Verbraucher mit einer bestimmten Leistung wird angeschlossen. Welcher Strom fliesst und muss abgesichert werden?<\/p>\n<table style=\"width: 80%; margin-left: 0%; margin-right: 20%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 20%; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20%; border: 1px solid #000000;\"><strong>P<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 20%;\"><strong>R<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 20%;\"><strong>I<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 20%;\"><strong>U<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><strong>Ankerzeile<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>230 W<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>230ohm<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>1A<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>230V<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">60W<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">230V<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">2000W<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">230V<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">2A<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">230V<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">500ohm<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">230V<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">10A<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">\u00a0230V<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h1>F\u00fcr Anspruchsvolle (2): Allgemeine lineare Zusammenh\u00e4nge<\/h1>\n<p>In den bisherigen Beispielen war es immer so, dass wenn eine Gr\u00f6sse gleich Null war, die andere Gr\u00f6sse ebenfalls Null wurde: 0 Liter Milch wiegen 0 Kilogramm; 0 Euro kosten 0 Franken; f\u00fcr 0 m<sup>2<\/sup> Wiese braucht es 0 kg D\u00fcnger etc. Es gibt aber auch lineare Zusammenh\u00e4nge zwischen zwei Gr\u00f6ssen, bei denen dies nicht der Fall ist. Beispielsweise entsprechen 0\u00b0 Celsius nicht 0\u00b0 Fahrenheit sondern 32\u00b0 Fahrenheit.<\/p>\n<p>Bei solchen Zusammenh\u00e4ngen wird das Arbeiten mit Tabellen zwar etwas komplexer, es ist aber durchaus noch machbar und sinnvoll. Beispiele f\u00fcr solche Zusammenh\u00e4nge lasen sich ebenfalls viele finden:<\/p>\n<ul>\n<li>Temperatur in Grad Celsius und in Grad Fahrenheit<\/li>\n<li>Stromkosten zusammengesetzt aus einem Grundbetrag und einer verbrauchsabh\u00e4ngigen Komponente<\/li>\n<li>Fahrzeugkosten zusammengesetzt auf Fixkosten und variablen Kosten<\/li>\n<li>Der Fettgehalt einer Mischung aus zwei Milchsorten<\/li>\n<li>\u2026<\/li>\n<\/ul>\n<table style=\"width: 80%; margin-left: 5%; margin-right: 15%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 40%; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 30%; border: 1px solid #000000;\"><strong>Celsius<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 30%;\"><strong>Fahrenheit<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><strong>Ankerzeile 1<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>0<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>32<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">10<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><strong>Ankerzeile 2<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>20<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">\u00a0<strong>68<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>F\u00fcr solche F\u00e4lle werden zwei Ankerzeilen ben\u00f6tigt. (Im Fall der einfachen Proportionalit\u00e4t bildet das Paar (0,0) die zweite Ankerzeile.) Die Interpolation zwischen diesen beiden Zeilen ist einfach zu bewerkstelligen: Liegt ein Wert auf der einen Skala in der Mitte zwischen den beiden Ankerzeilen, so liegt der entsprechende Wert auf der anderen Skala auch in der Mitte.<\/p>\n<p>Ein spannendes Beispiel f\u00fcr den Einsatz von Tabellen dieser Art ist die <a title=\"Mathematische Instrumente modernisieren\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=1956#Mischkreuz\">Mischrechnung<\/a>. Dabei geht es beispielsweise (auch wieder bei den <a title=\"Milchtechnologinnen und Milchtechnologen\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=211\">Milchtechnologen<\/a>) um folgende Frage: Gebraucht werden 800 Liter Milch mit einem Fettgehalt von 2%. Zur Verf\u00fcgung stehen Magermilch mit 0.05% Fettgehalt und Vollmilch mit 3.5% Fettgehalt. Wie viel Milch jeder der beiden Sorten wird f\u00fcr die Mischung ben\u00f6tigt?<\/p>\n<p>Traditionell wird dies \u00fcber das \u201eMischkreuz\u201c berechnet. Dabei wird folgender Zusammenhang genutzt.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-1978 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Formel_Mischkreuz_1.jpg\" alt=\"Formel_Mischkreuz_1\" width=\"167\" height=\"56\" \/><\/p>\n<p>Umgangssprachliche formuliert: Das Verh\u00e4ltnis der beiden Mengen entspricht dem umgekehrten Verh\u00e4ltnis der Differenzen zwischen den jeweiligen Fettgehalten und dem gew\u00fcnschten Fettgehalt. Das ist intuitiv kaum nachvollziehbar und Lernende haben traditionell auch grosse M\u00fche mit diesem Zugang.<\/p>\n<p>Dabei liegt dem Ganzen ein einfacher linearer Zusammenhang zu Grunde. Verwenden man f\u00fcr die Mischung nur Milch der einen Sorte, dann entspricht selbstverst\u00e4ndlich der Fettgehalt der \u201eMischung\u201c dem Fettgehalt dieser Sorte. Damit sind die beiden Ankerzeilen der folgenden Tabelle gegeben. Alle anderen Werte dazwischen lassen sich linear interpolieren. Speziell an dieser Tabelle ist, dass nur zwischen den beiden Ankerzeile interpoliert werden kann. Eine Extrapolation dar\u00fcber hinaus ist sinnlos.<\/p>\n<table style=\"width: 90%; margin-left: 0%; margin-right: 10%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 34%; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 22%; border: 1px solid #000000;\"><strong>Vollmilch<br \/>\n(Liter)<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 22%;\"><strong>Magermilch<br \/>\n(Liter)<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 22%;\"><strong>Fettgehalt<br \/>\ntotal<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: left; border: 1px none #000000;\"><strong>nur Magermilch<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>0<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>800<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>0.05%<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">200<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">600<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">\u00a0.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">400<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">400<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">600<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">200<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">\u00a0.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: left; border: 1px none #000000;\"><strong>nur Vollmilch<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>800<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>0<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>3.5%<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h1>Formeln als elegante Zusammenfassungen von Tabellen<\/h1>\n<p>Im privaten und beruflichen Alltag gen\u00fcgt im Allgemeinen das Arbeiten mit parallelen Skalen den dort herrschenden Anforderungen \u2013 allenfalls unterst\u00fctzt von tabellarischen Darstellungen. Lernende, die nicht dar\u00fcber hinausgehen wollen oder k\u00f6nnen, k\u00f6nnen trotzdem erfolgreiche Berufsleute werden.<\/p>\n<p>Es spricht aber nichts dagegen, anschliessend an die Behandlung der Zusammenh\u00e4nge in tabellarischer Form, Formeln als elegante Zusammenfassungen von Tabellen zu thematisieren. Vorausgesetzt ist nat\u00fcrlich, dass im Unterricht entsprechend Zeit vorhanden ist. V.a. bei Lernende, die sp\u00e4ter evtl. die Berufsmaturit\u00e4t oder eine h\u00f6here Weiterbildungen absolvieren m\u00f6chten, ist es gut, wenn sie sich damit auseinandersetzen.<\/p>\n<p>Alle bisher aufgef\u00fchrten Beispiele eignen sich daf\u00fcr. Dazu sind drei Schritte n\u00f6tig:<\/p>\n<ol>\n<li>Abstrahierende Beschriftung der Kolonnen<\/li>\n<li>Einf\u00fchren\/Einf\u00fcgen eines Proportionalit\u00e4tsfaktors<\/li>\n<li>Ausformulieren des Bezugs zwischen den Gr\u00f6ssen als Formel<\/li>\n<\/ol>\n<p>Im Fall des Zusammenhangs zwischen Masse und Volumen bei den Milchtechnologen k\u00f6nnte das beispielsweise so aussehen:<\/p>\n<table style=\"width: 90%; margin-left: 0%; margin-right: 10%; margin-bottom: 0pt; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 34%; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 22%; border: 1px none #000000;\"><strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 22%; border: 1px none #000000;\"><strong>Faktor<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 22%; border: 1px none #000000;\"><strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: left; border: 1px none #000000;\"><strong>abstrahierende Beschriftung<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px solid #000000;\"><strong>Volumen<br \/>\nV<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; background-color: #cccccc; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>Dichte<br \/>\nd<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><strong>Masse<br \/>\nm<br \/>\n<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">Milch<br \/>\n(Liter)<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; background-color: #cccccc; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">kg\/l<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">Milch<br \/>\n(kg)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; background-color: #cccccc; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1.032<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1.032<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">100<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; background-color: #cccccc; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1.032<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">103.2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: 1px none #000000;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">1000<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; background-color: #cccccc; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1.032<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1032<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<table style=\"width: 90%; margin-left: 0%; margin-right: 10%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: left; width: 34%; border: 1px none #000000;\"><strong>Bezug zwischen den Gr\u00f6ssen<\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 19%; border: 1px none #000000;\">V<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4%; border: 1px none #000000;\">x<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20%; border: 1px none #000000;\">d<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4%; border: 1px none #000000;\">=<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 19%; border: 1px none #000000;\">m<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Wichtig ist dabei, dass das Darstellen der Zusammenh\u00e4nge als Formel nicht mit dem Betreiben von Mathematik verwechselt wird. Keith Devlin hat in seinem Buch \u201eDas Mathe-Gen\u201c f\u00fcr die Funktion von Formeln eine sch\u00f6nes Bild gefunden (Devlin, 2003). Er vergleicht <i>Mathematik betreiben<\/i> mit <i>Musik machen<\/i>. Beides findet im Kopf satt. Die Musiker haben die Notenschrift entwickelt, um das darstellen zu k\u00f6nnen, was beim Musik machen im Kopf stattfindet. Zum selben Zweck haben die Mathematiker die Formeln erfunden. Beides sind statische Zusammenfassungen von dynamischen Denkprozessen.<\/p>\n<p>Komplexe Mathematik kann man kaum ohne das Hilfsmittel der Formeln betreiben. Die Mathematik, welche im beruflichen Alltag ben\u00f6tigt wird, meist aber schon. Und wie man nicht zwingend Noten lesen k\u00f6nnen muss, um Musik zu machen, muss man nicht zwingend \u201eFormeln lesen\u201c k\u00f6nnen, um Mathematik zu betreiben.<\/p>\n<h1>Zitierte Literatur<\/h1>\n<ul>\n<li>Devlin, K. (2003). <i>Das Mathe-Gen: oder Wie sich das mathematische Denken entwickelt + Warum Sie Zahlen ruhig vergessen k\u00f6nnen.<\/i> M\u00fcnchen Deutscher Taschenbuch Verlag.<\/li>\n<li>Devlin, K. (2012). The Symbol Barrier of Mathematics Learning. In M. Bockarova, M. Danesi &amp; R. N\u00fa\u00f1ez (Eds.), <i>Semiotic and Cognitive Science Essasy on the Nature of Mathematics<\/i> (pp. 7-16). M\u00fcnchen: LINCOM.<\/li>\n<li>Hafner, T. (2012). <i>Proportionalit\u00e4t und Prozentrechnung in der Sekundarstufe I<\/i>. Wiesbaden: Vieweg + Teubner.<\/li>\n<li>Hoyles, C., Noss, R., &amp; Pozzi, S. (2001). Proportional Reasoning in Nursing Practice. <i>Journal for Research in Mathematics Education, 32<\/i>(1), 4-27.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Tools<\/h2>\n<ul>\n<li><a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/div\/srechner09l18022016.apk\" target=\"_blank\">Skalenrechner<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>pdf\u00a0\u00a0\u00a0 Im beruflichen Alltag spielen einfache Proportionalit\u00e4ts\u00fcberlegungen eine grosse Rolle: Wenn doppelt so viele G\u00e4ste kommen, muss ich doppelt so viel Reis kochen; wenn die Spannung doppelt so gross ist, fliesst doppelt so viel Strom; wenn ich heute nur ein &hellip; <a href=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/mathematische-werkzeuge\/tabellen-statt-formeln\/\">Weiterlesen <span class=\"meta-nav\">&rarr;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":7,"featured_media":0,"parent":2819,"menu_order":1,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"sidebar-page.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-2109","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2109","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/7"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2109"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2109\/revisions"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2819"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2109"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}