{"id":2064,"date":"2013-06-04T14:26:39","date_gmt":"2013-06-04T13:26:39","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=2064"},"modified":"2015-02-05T15:36:27","modified_gmt":"2015-02-05T14:36:27","slug":"wissensaufbau-von-den-fussen-her","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/didaktisches-grundmodell\/wissensaufbau-von-den-fussen-her\/","title":{"rendered":"Wissensaufbau von den F\u00fcssen her"},"content":{"rendered":"

etwas ausf\u00fchrlicher als pdf <\/em><\/a><\/p>\n

Situierte Kompetenz<\/h1>\n

Kompetenz gleich welcher Art ist situationsgebunden<\/a>. Wenn eine Person eine bestimmte Situation kompetent bew\u00e4ltigen kann, ist damit noch lange nicht gesagt, dass ihr dies in einer anderen, vermeintlich \u00e4hnlichen Situation ebenfalls gelingt. Dies gilt auch f\u00fcr Berechnungssituationen jeglicher Art. Eine kleine Geschichte als Beispiel, erz\u00e4hlt von Hans Heymann, Mathematikdidaktiker (Heymann, 1996, S. 207f; das Zitat ist leicht gek\u00fcrzt):<\/p>\n

\u201eEine charakteristische Szene mit meiner Tochter Katharina \u2013 seinerzeit 13 Jahre alt und dem Fach Mathematik nicht sonderlich zugetan \u2013 erlaubt Vermutungen dar\u00fcber, durch welche Missverst\u00e4ndnisse die Kluft zwischen dem mathematischen Denken und dem Alltagsdenken zustande kommt: Katharina hatte, im Rahmen einer Hausaufgabe, unter ordnungsgem\u00e4sser Anwendung der Bruchrechenregeln die Zahl 2 durch \u00bc dividiert und kam dann zu mir, weil sie sich \u00fcber die 8 als Ergebnis wunderte. Wieso konnte das Ergebnis gr\u00f6sser sein als der Dividend? Sie hatte doch \u201ageteilt\u2019! Ich versuchte ihr einsichtig zu machen, weshalb das so sein muss. Als Gegenbeispiel hielt sie mir vor, wenn sie einen Apfel \u201ain Viertel\u2019 teile, seien die St\u00fccke aber kleiner als der Apfel. Ich wies sie auf den Unterschied zwischen \u201ateilen in\u2019 und \u201ateilen durch\u2019 hin. Abschliessend meinte sie: \u201aOkay, ich weiss jetzt, wie man das rechnen muss. Aber du willst mir doch wohl nicht weismachen, dass man in Mathe logisch denkt!\u2019\u201c<\/p>\n

Mit dieser Schwierigkeit steht Katharina nicht allein da. Nach meinen pers\u00f6nlichen Sch\u00e4tzungen bekommen mindestens die H\u00e4lft aller Leute das Dividieren durch einen Bruch nie in den Griff \u2013 unabh\u00e4ngig vom Bildungsniveau. Das Problem ist, dass sie eine ganz bestimmte Situation vor Augen haben: Das \u201eTeilen\u201c oder \u201eVerteilen\u201c eines Apfels oder Kuchens auf mehrere Kinder. Daneben gibt es aber noch andere Situationen, die man zwar auch mit Dividieren bew\u00e4ltigen kann, die aber einer ganz anderen Fragestellung entsprechen.<\/p>\n

Eine typische zweite solche Situation w\u00e4re das \u201eAufteilen\u201c oder \u201eEnthaltensein\u201c. Beispielsweise: \u201e2 kg Mehl sollen in S\u00e4cke zu \u00bc kg abgef\u00fcllt werden. Wie viele S\u00e4cke ben\u00f6tigt man?\u201c F\u00fcr die meisten Personen verschwinden ihre urspr\u00fcnglichen Probleme augenblicklich, wenn sie sich diese Situation vorstellen. Die Aufgabe wird leicht l\u00f6sbar. Und in diesem Kontext bereitet es \u00fcberhaupt keine M\u00fche zu akzeptieren, dass das Resultat (8) gr\u00f6sser ist, als die Anzahl Kilogramm in der Ausgangsmenge.<\/p>\n

Aus der Forschung weiss man, dass sich im Zusammenhang des Dividierens eine\u00a0Vielzahl solcher Situationen<\/a> unterschieden lassen. Jeder dieser Situationen liegt eine andere Sachlogik zugrunde. So ruft z.B. \u201eEin Teppich ist 20 m\u00b2 gross. Er ist 4 m breit. Wie lang ist er?\u201c wieder ein ganz anders Bild hervor als das Verteilen eines Kuchens auf mehrere Personen oder das Aufteilen eines Sack Mehls auf mehrere kleine S\u00e4cke.<\/p>\n

All diese Sachverhalte kann die \u201eabstrakte Mathematik\u201c durch dasselbe mathematische Konzept – der Division einer Gr\u00f6sse durch eine andere – darstellen und behandeln (vgl. Abbildung 1). Aber damit allein l\u00e4sst sich im Alltag eine entsprechende Aufgabe nicht schnell und sicher l\u00f6sen. Unter anderem braucht es dazu eine Vorstellung davon, was in der Situation tats\u00e4chlich geschieht (vgl. etwa Vergnaud, 1990). Eine solche Vorstellung hilft etwa abzusch\u00e4tzen, ob das Resultat \u00fcberhaupt stimmen kann. Erh\u00e4lt man z.B. beim Verteilen von \u00c4pfeln an Kinder pro Kind mehr \u00c4pfel als urspr\u00fcnglich zur Verf\u00fcgung standen, dann muss etwas schief gegangen sein.<\/p>\n

Dass Kompetenz im Sinne von \u201eeine Berechnungssituation sicher und effizient beherrschen\u201c situationsgebunden ist, erkennt man gut, wenn man kompetente Leute danach fragt, ob das Resultat einer bestimmten Berechnung zutreffen kann. Je nach Situation erh\u00e4lt man ganz andere Begr\u00fcndungen:<\/p>\n