{"id":198,"date":"2013-02-01T18:22:49","date_gmt":"2013-02-01T17:22:49","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=198"},"modified":"2015-06-19T09:44:04","modified_gmt":"2015-06-19T08:44:04","slug":"handfestes-modellieren","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/didaktische-szenarien\/handfestes-modellieren\/","title":{"rendered":"Vorg\u00e4nge Modellieren"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align: left;\"><a title=\"Als pdf \u00f6ffnen\" href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Handfestes_Modellieren.pdf\" target=\"_blank\"><em>pdf <\/em><\/a><\/p>\n<h1 style=\"text-align: left;\">1 Drei Welten<\/h1>\n<p>Ein zentrales Problem beim Rechnen im beruflichen Alltag ist, dass sich die Lernenden gleichzeitig und koordiniert in drei Welten bewegen m\u00fcssen:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Dinge:<\/strong> Im Zentrum steht immer eine reale Aufgabe mit realen \u201eDingen\u201c, f\u00fcr die es eine L\u00f6sung zu finden gilt. Man sollte wissen, wie viele Karotten einzukaufen sind, damit nach der Verarbeitung gen\u00fcgend zu Essen auf den Tisch kommt. Man sollte wissen, wie breit man einzelne Bretter zuschneiden muss, damit sie verleimt eine Platte f\u00fcr den Esstisch ergeben etc. In der Welt der Dinge spielen viele Aspekte hinein, die nicht direkt mit Mathematik und Rechnen zu tun haben. Gerade diese Aspekte k\u00f6nnen aber oft helfen, L\u00f6sungen auf ihre Plausibilit\u00e4t zu \u00fcberpr\u00fcfen.<\/li>\n<li><strong>Konzepte:<\/strong> Die Aufgabe muss in ein mathematisches Modell \u00fcbersetzt werden. Anstelle bestimmter, f\u00fcr die Probleml\u00f6sung wichtigen Eigenschaften der \u201eDinge\u201c treten Zahlen. Zahlen sind wie Legobausteine. Wenn man sie geschickt kombiniert, lassen sich damit reale Problemsituationen mehr oder weniger getreu abbilden. Sie haben gewisse, fixe Eigenschaften. Kennt man die, kann man das Modell der Problemsituation so \u201edrehen\u201c, dass die L\u00f6sung leicht zu erkennen ist. Mathematik kommt ohne konkrete Gr\u00f6ssen aus, d.h. die modellierten Eigenschaften k\u00f6nnen als abstrakte Zahlen (oft geschrieben als Buchstaben) dargestellt werden.<\/li>\n<li><strong>Techniken:<\/strong> Als L\u00f6sungen f\u00fcr konkrete Probleme sind aber meist konkrete Gr\u00f6ssen gefragt. Um diese zu errechnen, m\u00fcssen deshalb die Zahlen im mathematischen Modell durch konkrete Gr\u00f6ssen ersetzt werden. Diese werden in einer bestimmten Notation geschrieben. Abh\u00e4ngig von der Notation und vom gew\u00e4hlten mathematischen Modell lassen sich dann bestimmte Rechentechniken einsetzen, um die Gr\u00f6sse zu erhalten, welche der L\u00f6sung entspricht. Diese Rechentechniken sind Prozeduren, die ihre eigenen, vom gew\u00e4hlten mathematischen Modell unabh\u00e4ngigen Schwierigkeiten und Stolpersteine bieten (z.B. Zehner\u00fcberg\u00e4nge).<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2352 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Drei_Welten.jpg\" alt=\"Drei_Welten\" width=\"485\" height=\"308\" \/><\/p>\n<p>Abbildung 1: Die drei Welten<\/p>\n<p>Die Aufgaben der Lernenden sind also vielf\u00e4ltig. Sie m\u00fcssen mindestens:<\/p>\n<ul>\n<li>Jede dieser drei Welten ausreichend beherrschen (Probleml\u00f6sen, Mathematisieren, Rechnen).<\/li>\n<li>Die drei Welten im Rahmen einer Probleml\u00f6sung koordinieren.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dies ist oft nicht ganz einfach und viele Lernende (und auch Lehrende!) behelfen sich damit, dass sie nur auf die dritte dieser Welten fokussieren und nur zu lernen\/lehren versuchen, wie man beim \u201eRechnen\u201c Schritt f\u00fcr Schritt vorgehen muss. Dies ist aber keine L\u00f6sung, denn so sind die Lernenden nicht in der Lage, ihr eigenes Vorgehen zu kontrollieren und Fehler zu bemerken. Oft k\u00f6nnen sie sich so auch einzelne Schritte des Verfahrens nur schlecht merken, wissen nicht mehr ob jetzt z.B. multipliziert oder dividiert werden muss.<\/p>\n<h1>2 Modellieren, ein erstes Beispiel<\/h1>\n<p>Abhilfe schafft eine intensive Auseinandersetzung mit den Beziehungen zwischen den drei Welten. Ideal daf\u00fcr geeignet ist das Modellieren der Berechnungssituation mit Hilfe von handfesten Materialien wie H\u00f6lzchen, Knete, Kn\u00f6pfen etc. (Das Compad bzw. FLEMOLernmaterial ist genau daf\u00fcr geschaffen.)<\/p>\n<p>Ein Beispiel aus der Backstube:<\/p>\n<p><strong>Aufgabe<\/strong><\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">\u201eDie gew\u00fcnschte Teigtemperatur betr\u00e4gt 24\u00b0 C. Die Kneterw\u00e4rmung 5\u00b0 C. Der Vorteig war \u00fcber Nacht im K\u00fchlraum und hat eine Temperatur von 8\u00b0 C. Die Backstube weist eine Temperatur von 25\u00b0C auf und das Mehl aus dem Silo hat 15\u00b0 C. Wie warm muss [das Wasser] gesch\u00fcttet werden?\u201c<\/p>\n<p><strong>Vorgehen<\/strong><\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Im Unterricht wird \u00fcblicherweise folgendes Verfahren gelehrt: \u201eIhr m\u00fcsst zuerst von der gew\u00fcnschten Teigtemperatur die Kneterw\u00e4rmung abziehen. Dann multipliziert ihr den erhalten Wert mit der Anzahl Zutaten (inklusive Lufttemperatur) und zieht dann alle bekannten Temperaturen der Zutaten ab\u201c.<\/p>\n<p><strong>Schwierigkeiten<\/strong><\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Lernende bekunden mit diesem Vorgehen immer wieder Probleme, indem sie sich beispielsweise einfach nicht merken k\u00f6nnen, ob nun dazugez\u00e4hlt oder abgez\u00e4hlt werden muss.<\/p>\n<h2>2.1 Die Welt der Dinge darstellen<\/h2>\n<p>Zweckm\u00e4ssig ist es, zuerst einmal die Welt der Dinge noch ganz unabh\u00e4ngig von \u201eMathematik\u201c oder \u201eRechnen\u201c darzustellen. Die Lernenden sollen sich ganz handfest versichern, um welche Dinge es in der Aufgabe geht und wie diese zu einander in Beziehung stehen.<\/p>\n<p>Hier geht es um die Herstellung eines Teiges. Zutaten werden zusammengesch\u00fcttet und dann verknetet. In Abbildung 2 ist diese Welt mit den St\u00e4bchen, Kn\u00f6pfen, Gegenst\u00e4nden dargestellt. Entsprechend den zwei Schritten des Prozesses kann man sich auch die Entstehung der Endtemperatur als zweischrittigen Prozess vorstellen. Beim ersten Schritt entsteht aus den Temperaturen der verschiedenen Zutaten (Wasser, Mehl, Vorteig und Raumtemperatur!) eine \u201eMischtemperatur\u201c. Als zweiter Schritt findet dann beim Kneten des Teiges noch eine Erw\u00e4rmung statt, verursacht durch die Reibung.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\u00a0<a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Handfest\/Schuettwasser_gross.jpg\" target=\"_blank\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2353 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Schuettwasser.jpg\" alt=\"Schuettwasser\" width=\"480\" height=\"370\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Schuettwasser.jpg 480w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Schuettwasser-300x231.jpg 300w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Schuettwasser-389x300.jpg 389w\" sizes=\"auto, (max-width: 480px) 100vw, 480px\" \/><\/a><\/p>\n<p>Abbildung 2: Rechnen mit Temperaturen bei der Teigherstellung.<\/p>\n<h2>2.2 Die mathematischen Beziehungen darstellen<\/h2>\n<p>Damit sp\u00e4ter gerechnet werden kann, muss die Welt der Dinge in ein mathematisches Modell gefasst werden. Dazu muss bestimmt werden, welche Aspekte der Dinge durch Zahlen erfasst werden und wie diese Zahlen zueinander in Beziehung stehen. Der Aufbau des mathematischen Modells ist in vielen F\u00e4llen der anspruchsvollste Teil und meistens sind die Lernenden hier auf Unterst\u00fctzung angewiesen, damit eine hilfreiche Darstellung entsteht.<\/p>\n<p>In Abbildung 2 stehen die gelben, quadratischen K\u00e4rtchen f\u00fcr die Zahlen. Jede \u201eZutat\u201c wie auch das Endprodukt erhalten eine Temperatur zugeordnet. Wo aus der Aufgabenstellung bekannt, sind die entsprechenden Temperaturen gleich auf den K\u00e4rtchen eingetragen.<\/p>\n<p>Die weissen Zettel stehen f\u00fcr die Zusammenh\u00e4nge zwischen diesen Zahlen. Jedem der beiden Schritte ist ein mathematisches Modell zugeordnet. Bei der Temperaturmischung im ersten Schritt wird das Modell des Durchschnitts eingesetzt, bei dem alle beteiligten Temperaturen mit gleichem Gewicht verrechnet werden. F\u00fcr die Kneterw\u00e4rmung im zweiten Schritt ist es eine einfache Addition, bei der die Temperatur durch die Erw\u00e4rmung entsprechend erh\u00f6ht wird.<\/p>\n<p>An dieser Stelle wird klar, dass die Darstellung der Welt der Dinge durch die verwendeten mathematischen Konzepte beeinflusst wird. Die Temperatur der Backstube wirkt in Wirklichkeit nicht nur beim Zusammensch\u00fctten der \u201eZutaten\u201c, sondern auch, oder sogar vor allem, w\u00e4hrend des Knetens. Aber das w\u00e4re mathematisch schwieriger zu modellieren und offenbar hat sich diese Vereinfachung praktisch bew\u00e4hrt.<\/p>\n<p>Die mathematische Modellierung ist auch an einem zweiten Punkt nur eine Ann\u00e4herung an die Verh\u00e4ltnisse in der Welt der Dinge. Beim verwendeten Modell des Durchschnitts werden\u00a0 alle Temperaturen der Zutaten gleich gewichtet. Das ist sicher nicht ganz exakt, denn der eher kleine Vorteig beeinflusst die Endtemperatur sicher weniger als das Mehl und das Wasser. Aber offenbar hat sich auch hier diese Vereinfachung praktisch bew\u00e4hrt.<\/p>\n<p>Die Eigenschaften der einzelnen Dinge erlauben abzusch\u00e4tzen, wie das Resultat ausfallen wird. Gewisse Temperaturen sind deutlich tiefer als der Zielwert (15\u00b0 und 8\u00b0; blaue Kn\u00f6pfe), zwei andere sind nur wenig zu hoch (25\u00b0 und +5\u00b0; rote Kn\u00f6pfe), so dass die notwendige Temperatur f\u00fcr das Wasser wohl \u00fcber 24\u00b0 liegen d\u00fcrfte.<\/p>\n<h2>2.3 Die \u201eRechnung\u201c eintragen und durchf\u00fchren<\/h2>\n<p>Ganz rechts in Abbildung 2 findet sich dann die \u201eWelt der Verfahren\u201c, des Rechnens, wo klar wird, wie aus dem mathematischen Modell ein Rechnungsvorgang wird. Ist die Endtemperatur vorgegeben, muss selbstverst\u00e4ndlich von dieser ausgehend r\u00fcckw\u00e4rts gerechnet werden. Aus der Addition bei der Kneterw\u00e4rmung wird eine Subtraktion und die Aufl\u00f6sung des Durchschnitts f\u00fchrt zu einer Multiplikation mit der Anzahl Zutaten mit anschliessenden weiteren Subtraktionen.<\/p>\n<p>Betrachtet man nur den Algorithmus, sind sowohl die Subtraktion wie die Multiplikation intuitiv nicht einfach nachvollziehbar. Die Subtraktion verlangt, dass \u201eDinge\u201c, die beim Herstellungsprozess hinzukommen, weggenommen werden m\u00fcssen. Und die Multiplikation scheint nahezulegen, dass das Resultat von der Anzahl Zutaten abh\u00e4ngt (!?) und dass es umso h\u00f6her ist, je mehr Zutaten verwendet werden (!?).<\/p>\n<p>Bei der Subtraktion hilft vielleicht die \u00dcberlegung, dass vom Endresultat her r\u00fcckw\u00e4rts gerechnet wird und dass die Addition, das Hinzuf\u00fcgen, daher umgekehrt werden muss. Eine solch einfache \u00dcberlegung ist aber bei der Multiplikation der Anzahl Zutaten nicht in Sicht. Dies illustriert, dass stabiles Rechnen nur m\u00f6glich ist, wenn es den Lernenden gelingt, die drei Welten zu vernetzen. Wird nur der Algorithmus eingef\u00fchrt, dann besteht die Gefahr, dass manche Lernende pl\u00f6tzlich addieren anstatt subtrahieren. Und auf jeden Fall wird f\u00fcr sie die Multiplikation mit der Anzahl \u201eZutaten\u201c v\u00f6llig unverst\u00e4ndlich sein und sie werden sie einfach als einen Akt \u201emathematischer Magie\u201c akzeptieren m\u00fcssen.<\/p>\n<h1>3 Noch ein Beispiel, \u201eRahmt\u00e4feli machen\u201c<\/h1>\n<ul>\n<li>Es sollen 3500 g Rahmt\u00e4feli produziert werden.<\/li>\n<li>Der Schneidverlust betr\u00e4gt 4.2%.<\/li>\n<li>Der Kochverlust betr\u00e4gt 14.6%.<\/li>\n<li>Der Zucker macht 42% der Teigmasse aus.<\/li>\n<li>Wie viel Zucker wird ben\u00f6tigt?<\/li>\n<\/ul>\n<div>\n<div>\n<p>Abbildung 3 bis 4 zeigen Schritt f\u00fcr Schritt, wie sich die Aufgabe modellieren l\u00e4sst.<\/p>\n<h2>3.1 Die Welt der Dinge darstellen<\/h2>\n<p>Die Herstellung kann in drei Schritte zerlegt werden (von links nach rechts in Abbildung 3).<\/p>\n<ol>\n<li>Mischen der Zutaten<\/li>\n<li>Kochen der Masse<\/li>\n<li>Zerschneiden der verfestigten Masse<\/li>\n<\/ol>\n<p>Bei den letzten beiden Schritten geht jeweils etwas verloren. Beim ersten Schritt wird Zucker mit den restlichen Zutaten vermengt.<\/p>\n<\/div>\n<p><a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Handfest\/Rahmtaefeli_1_gross.jpg\" target=\"_blank\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/typo\/fileadmin\/Texte\/Alltagsmathematik\/Didaktik\/Rahmtaefeli_1_mittel.jpg\" alt=\"\" width=\"484\" height=\"280\" border=\"0\" \/><\/a><\/p>\n<\/div>\n<div>\n<div>\n<p>Abbildung 3: Rahmt\u00e4feli, die Welt der Dinge<\/p>\n<h2>3.2 Die mathematischen Beziehungen darstellen<\/h2>\n<p>Bei jedem der drei Schritte geht es mathematisch darum, dass von einem Ganzen ein Teil abgespaltet wird. In Abbildung 4 sind jeweils die \u201eGanzen\u201c, die Grundmengen bzw. \u201e100%\u201c durch einen Rahmen eingeschlossen.Innerhalb jedes Rahmens ist dann im Weiteren vermerkt, wie viel Prozent des Ganzen der abgespaltene Teil ausmacht. Mit dieser Erweiterung sind die Welt der Dinge und die Welt der mathematischen Konzepte vereint dargestellt.<\/p>\n<\/div>\n<p><a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Handfest\/Rahmtaefeli_2_gross.jpg\" target=\"_blank\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/typo\/fileadmin\/Texte\/Alltagsmathematik\/Didaktik\/Rahmtaefeli_2_mittel.jpg\" alt=\"\" width=\"484\" height=\"280\" border=\"0\" \/><\/a><\/p>\n<\/div>\n<div>\n<div>\n<p>Abbildung 4: Rahmt\u00e4feli, Dinge und mathematische Konzepte vereint<\/p>\n<h2>3.3 Die \u201eRechnung\u201c eintragen und durchf\u00fchren<\/h2>\n<p>Innerhalb des Modells l\u00e4sst sich dann Schritt f\u00fcr Schritt von rechts nach links die gesuchte Menge Zucker ermitteln. Bei den ersten beiden Schritten ist jeweils ein Teil bekannt (das Komplement zum Verlust) und es muss das Ganze berechnet werden. Beim dritten Schritt verh\u00e4lt sich das dann umgekehrt, d.h. aus dem Ganzen wird auf ein Teil geschlossen.<\/p>\n<\/div>\n<p><a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Handfest\/Rahmtaefeli_3_gross.jpg\" target=\"_blank\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/typo\/fileadmin\/Texte\/Alltagsmathematik\/Didaktik\/Rahmtaefeli_3_mittel.jpg\" alt=\"\" width=\"484\" height=\"280\" border=\"0\" \/><\/a><\/p>\n<\/div>\n<p>Abbildung 5: Rahmt\u00e4feli, Rechnung ausgef\u00fchrt<\/p>\n<h1>4 Hinweise zu den einzelnen Schritten<\/h1>\n<h2>4.1 Die drei Schritte in Kurzform<\/h2>\n<ol>\n<li><strong>Die Welt der Dinge darstellen:<\/strong> Als erstes geht es darum, dass sich die Lernenden ganz handfest versichern, um welche Dinge es in der Aufgabe geht und wie diese zu einander in Beziehung stehen. Mit Spielsteinen, Knetmaterial, Symbolen und beschrifteten K\u00e4rtchen wird ein entsprechendes Modell erstellt.<\/li>\n<li><strong>Die mathematischen Beziehungen darstellen:<\/strong> Damit mit diesen Daten gerechnet werden kann, muss die Welt der Dinge in ein mathematisches Modell gefasst werden. Dazu werden K\u00e4rtchen f\u00fcr einzelne Zahlen, welche im Laufe der Probleml\u00f6sung eine Rolle spielen, an der entsprechenden Stelle platziert. Die Beziehungen zwischen diesen Zahlen werden verdeutlicht. Wo vorhanden, werden Daten, Messgr\u00f6ssen etc. aus der Aufgabenstellung auf den entsprechenden K\u00e4rtchen eingetragen.<\/li>\n<li><strong>Die \u201eRechnung\u201c eintragen und durchf\u00fchren:<\/strong> Als letzter Schritt wird neben die bisherige Darstellung die \u201eRechnung\u201c mit allen Zwischenresultaten und dem Endresultat gelegt.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>4.2 Die Welt der Dinge darstellen<\/h2>\n<p>F\u00fcr den ersten Schritt gilt als zentrale Regel, dass Zahlen, \u201eMathematik\u201c, Rechnen etc. hier vorerst noch nichts zu suchen haben. Es geht nur darum, die verschiedenen in der Aufgabe erw\u00e4hnten Dinge und ihre Beziehungen zueinander darzustellen. Dies ist u.a. darum entscheidend, weil gerade Lernende mit Schwierigkeiten die Tendenz haben, sich sofort auf die Rechnung zu st\u00fcrzen und mit Werten zu jonglieren, ohne sich \u00fcberhaupt je ein Bild von der Situation zu machen, die es zu bearbeiten gilt.<\/p>\n<p>Die Darstellung, die dabei entsteht, wird sich in den seltensten F\u00e4llen dazu eignen, die mathematischen Beziehungen so sch\u00f6n und nahtlos einzuf\u00fcgen, wie dies in den beiden Beispielen oben m\u00f6glich war. Oft wird sich beim Versuch, den zweiten Schritt durchzuf\u00fchren, zeigen, dass das Modell etwas umgebaut werden muss. Dies ist normal und stellt einen wichtigen Schritt im Verstehensprozess der Lernenden dar. Die Modellierung mit Compad oder FLEMO erlaubt solche Umbauten ohne weiteres.<\/p>\n<h2>4.3 Das mathematische Modell bauen<\/h2>\n<p>Optimal ist, wenn es den Lernenden mit Hilfe der Lehrperson gelingt, eine Darstellung zu finden, bei welcher die zentralen Eigenschaften der verwendeten Konzepte deutlich werden. Die \u201e100%-Rahmen\u201c in Abbildung 4 d\u00fcrften ein gutes Beispiel daf\u00fcr sein. Sie machen sichtbar, dass beim Prozentrechnen immer gekl\u00e4rt werden muss, welches die Menge ist, die 100% entspricht \u2013 etwas, das Lernenden immer wieder Schwierigkeiten bereitet.<\/p>\n<p>Weniger aussagekr\u00e4ftig ist hingegen das schlichte K\u00e4rtchen f\u00fcr den Mittelwert in Abbildung 2. Allerdings h\u00e4ngt die optimale Darstellung stark sowohl vom Vorwissen der Lernenden wie auch von ihren spezifischen Unsicherheiten ab. Je nach Gruppe kann ein solches K\u00e4rtchen als Bild f\u00fcr den Mittelwert durchaus gen\u00fcgen.<\/p>\n<p>Wie bereits erw\u00e4hnt, muss bei diesem zweiten Schritt oft das Modell aus dem ersten Schritt etwas umgebaut werden:<\/p>\n<ul>\n<li>Das kann im einfachsten Fall bedeuten, dass einfach etwas Platz geschaffen werden muss, um die mathematischen Beziehungen auch darstellen zu k\u00f6nnen \u2013 z.B. f\u00fcr die \u201e100%-Rahmen\u201c in Abbildung 4.<\/li>\n<li>Manchmal zeigt es sich aber auch, dass gewisse Dinge vergessen gingen, welche f\u00fcr die Berechnung ben\u00f6tigt werden \u2013 das k\u00f6nnte z.B. mit der Temperatur der Backstube in Abbildung 2 geschehen.<\/li>\n<li>Und manchmal wird es notwendig, die Zusammenh\u00e4nge anders darzustellen, da die zu verwendende \u201eMathematik\u201c die Welt der Dinge anders modelliert, als es im ersten Zugang sinnvoll erschien \u2013 auch hier als Beispiel die Temperatur der Backstube, die in Abbildung 2 zuerst vielleicht als Einflussgr\u00f6sse parallel zur Kneterw\u00e4rmung dargestellt wurde und dann aufgrund der \u201eMathematik\u201c zu den Zutaten umgeh\u00e4ngt werden muss.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Modellierung mit Compad oder FLEMO erlaubt solche Umbauten ohne weiteres. Sie k\u00f6nnen als Anlass dazu genommen werden, dar\u00fcber zu diskutieren, dass sich die Welt der Dinge meist auf ganz verschiedene Arten modellieren l\u00e4sst, dass die gew\u00e4hlte \u201eMathematik\u201c gewisse Varianten bevorzugt und dass manchmal auch der Berechenbarkeit zuliebe die Verh\u00e4ltnisse ein wenig \u201ezurechtgebogen\u201c werden (wie bei der Art, wie die Temperatur der Backstube einbezogen wird, oder bei der Gewichtung der \u201eZutaten\u201c in Abbildung 2).<\/p>\n<h2>4.4 Die \u201eRechnung\u201c eintragen und durchf\u00fchren<\/h2>\n<p>Wie beide verwendeten Beispiele zeigen, kommt es immer wieder vor, dass der Berechnungsablauf anders verl\u00e4uft, als der Handlungsablauf in der Welt der Dinge \u2013 z.B. genau in umgekehrter Richtung. Optimal ist, wenn dies in der Darstellung deutlich wird, denn dadurch werden viele, intuitiv unplausible Rechenschritte einfacher nachvollziehbar.<\/p>\n<h1 id=\"anleitung\">5 Arbeitsanleitung \u201eFachrechnen\u201c<\/h1>\n<table border=\"1\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"130\"><b>1<br \/>\nDie Welt der Dinge<\/b><\/td>\n<td valign=\"top\" width=\"484\"><b>Mit dem vorhandenen Material darstellen, von welchen Dingen in der Aufgabe die Rede ist. <\/b><br \/>\n<i>Zahlen und Berechnungen spielen bei diesem ersten Schritt noch keine Rolle.<\/i><\/p>\n<ul>\n<li>Welche Dinge kommen in der Aufgabe vor?<\/li>\n<li>Wie stehen sie zueinander?<\/li>\n<li>Werden sie durch einzelne Arbeitsschritte ver\u00e4ndert?\n<ul>\n<li>Ausgangsmaterial und Endprodukt des Arbeitsschritts darstellen.<\/li>\n<li>Wichtige Ver\u00e4nderungen deutlich sichtbar machen.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>2<br \/>\nDie mathematischen Beziehungen<\/b><\/td>\n<td><b>Die Messgr\u00f6ssen und Zusammenh\u00e4nge zwischen ihnen eintragen.<\/b><\/p>\n<ul>\n<li>Welche Messgr\u00f6ssen spielen in der Aufgabe eine Rolle?\n<ul>\n<li>F\u00fcr jede Gr\u00f6sse an der entsprechenden Stelle ein K\u00e4rtchen hinlegen.<\/li>\n<li>Masseinheiten eintragen.<\/li>\n<li>Werte f\u00fcr bekannte Gr\u00f6ssen eintragen.<\/li>\n<li>Gesuchte Gr\u00f6ssen kennzeichnen.<\/li>\n<li>K\u00e4rtchen f\u00fcr n\u00fctzliche Zwischenresultate einf\u00fcgen.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>In welcher mathematischen Beziehung stehen die einzelnen Gr\u00f6ssen zueinander?\n<ul>\n<li>Operationen eintragen (+, -, \u00f7, x etc.).<\/li>\n<li>Kennzeichen, wenn zwei Gr\u00f6ssen gleich sind oder dieselbe Gr\u00f6sse an mehreren Stellen auftritt.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>3<br \/>\nDie Rechnung<\/b><\/td>\n<td><b>Die Berechnung mit allen Zwischenresultaten und dem Endresultat Schritt f\u00fcr Schritt eintragen.<\/b><\/p>\n<ul>\n<li>Wo beginnt die Berechnung?<\/li>\n<li>\u00dcber welche Schritte l\u00e4uft die Berechnung ab?<\/li>\n<li>Was muss bei jedem einzelnen Schritt gerechnet werden?<\/li>\n<li>Welche Zwischenresultate ergeben sich?<\/li>\n<li>Welches Endresultat erh\u00e4lt man?<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h1>6 Die Wirkung des handfesten Modellierens<\/h1>\n<h2>6.1 Individuelle Ebene<\/h2>\n<p><em><strong>Nichtsprachliche Darstellung: <\/strong><\/em>Das auf den ersten Blick auff\u00e4lligste am handfesten Modellieren ist die M\u00f6glichkeit, Inhalte nichtsprachlich darzustellen. Dies kommt einerseits Lernenden entgegen, die sich auf diese Art besser ausdr\u00fccken k\u00f6nnen als mit rein sprachlichen Ebenen. Andererseits erleichtert es den Umgang mit Inhalten, die sich sprachlich nur schlecht darstellen lassen.<\/p>\n<p><em><strong>Angebot\/Zwang einer externen Repr\u00e4sentation: <\/strong><\/em>Die Arbeit mit externen Repr\u00e4sentationen entlastet das Arbeitsged\u00e4chtnis und erlaubt es, komplexere Inhalte zu bearbeiten. Das ist vielen Lernenden so nicht bewusst und entsprechend unsystematisch werden externe Repr\u00e4sentationen eingesetzt. Das handfeste Modellieren zwingt die Lernenden, externe Repr\u00e4sentationen zu nutzen. Das verwendete Material hat gleichzeitig eine spielerische Komponente und erleichtert damit den Zugang zu einer externen Repr\u00e4sentation im Vergleich zu Aufforderung wie \u201eschreib auf, was gegeben ist &#8230;\u201c.<\/p>\n<p><em><strong>Ver\u00e4nderbare externe Repr\u00e4sentation: <\/strong><\/em>Im Gegensatz zu Skizzen mit Papier und Bleistift, mit denen im Prinzip die gleichen Darstellungen wie beim handfesten Modellieren m\u00f6glich sind, lassen sich die Darstellungen mit dem Spielmaterial im Verlauf der Durchdringung eines Sachverhalts problemlos weiterentwickeln und anpassen.<\/p>\n<p><em><strong>Zwang der Modellontologie: <\/strong><\/em>Wie immer beim Einsatz von Modellen zur Darstellung von Sachverhalten zwingt das handfeste Modellieren gewisse Sachen explizit zu machen, die in einer anderen Darstellung implizit bleiben k\u00f6nnten. Dies ist einerseits ein Vorteil, wenn die Lernenden dadurch gezwungen werden, relevante Dinge explizit zu machen. Dies wird zum Nachteil, wenn das Modell Zusammenh\u00e4nge etc. suggeriert, die nur eine Folge der verwendeten Modellierungstechnik sind.<\/p>\n<h2>6.2 Gruppenebene<\/h2>\n<p><em><strong>Gemeinsam bearbeitbare externe Repr\u00e4sentation: <\/strong><\/em>Durch das im Zentrum der Gruppe stehende und sich entwickelnde Modell entsteht eine externe Repr\u00e4sentation, die gleichzeitig von allen Gruppenmitgliedern bearbeitet werden kann. Das erleichtert nur schon das Bezug nehmen auf bereits Dargestelltes, indem man einfach darauf zeigt (Roth 1994). Jeder neue Beitrag, d.h. jede Erg\u00e4nzung oder Ver\u00e4nderung geschieht zudem im Rahmen des bereits dargestellten, kann also nicht ohne Bezugnahme auf das stattfinden, was bereits \u201egesagt\u201c wurde.<\/p>\n<p><em><strong>Kollaboratives Lernen: <\/strong><\/em>Da in der Gruppe gearbeitet wird, kommen weiter die \u00fcblichen Vorz\u00fcge des kollaborativen Lernens zum Zug. Halb verstandene Konzepte k\u00f6nnen eingebracht und durch das erg\u00e4nzt werden, was die anderen verstanden haben. Missverst\u00e4ndnisse, die sich dadurch manifestieren, dass die einzelnen Lernende unterschiedliche Meinungen haben, kommen zu Tage und k\u00f6nnen gekl\u00e4rt werden. Etc..<\/p>\n<h2>6.3 Unterrichtsorganisatorische Ebene<\/h2>\n<p><em><strong>Sichtbarkeit des Lernverlaufs: <\/strong><\/em>Die von der Gruppe produzierte externe Repr\u00e4sentation ist auch f\u00fcr die Lehrperson jederzeit sichtbar. Dadurch l\u00e4sst sich f\u00fcr sie einerseits erkennen, wie weit eine bestimmte Gruppe schon fortgeschritten ist. Anderseits werden Missverst\u00e4ndnisse sichtbar und k\u00f6nnen korrigiert werden. Die Lehrperson kann so mehrere Gruppen gleichzeitig effizient \u00fcberwachen.<\/p>\n<h1>7 Literatur<\/h1>\n<ul>\n<li>Kaiser, H. (2009). Modelle bauen und begreifen. Mehr als blindes Rechnen bei angewandten Aufgaben. In L. Hefendehl-Hebeker, T. Leuders &amp; H.-G. Weigand (Eds.), <i>Mathemagische Momente <\/i>(pp. 74-85). Berlin: Cornelsen.<\/li>\n<li>Kaiser, H. (2010). <i>Rechnen und Mathematik anwendungsbezogen unterrichten<\/i>. Winterthur: Edition Swissmem.<\/li>\n<li>Roth, W.-M. (1994). Thinking with hands, eyes, and signs: multimodal science talk in a grade 6\/7 unit on simple machines. <i>Interactive Learning Environments 4(2): 170-187.<\/i><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>pdf 1 Drei Welten Ein zentrales Problem beim Rechnen im beruflichen Alltag ist, dass sich die Lernenden gleichzeitig und koordiniert in drei Welten bewegen m\u00fcssen: Dinge: Im Zentrum steht immer eine reale Aufgabe mit realen \u201eDingen\u201c, f\u00fcr die es eine &hellip; <a href=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/didaktische-szenarien\/handfestes-modellieren\/\">Weiterlesen <span class=\"meta-nav\">&rarr;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":7,"featured_media":0,"parent":2823,"menu_order":1,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"sidebar-page.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-198","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/198","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/7"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=198"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/198\/revisions"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2823"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=198"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}