{"id":1956,"date":"2013-05-24T08:54:31","date_gmt":"2013-05-24T07:54:31","guid":{"rendered":"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=1956"},"modified":"2015-04-18T20:29:36","modified_gmt":"2015-04-18T19:29:36","slug":"mathematische-instrumente-modernisieren","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/vom-kopf-auf-die-fuesse\/mathematische-werkzeuge\/mathematische-instrumente-modernisieren\/","title":{"rendered":"Mathematische Werkzeuge modernisieren"},"content":{"rendered":"<p><em><a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Modernisieren.pdf\" target=\"_blank\">pdf<\/a><\/em> \u00a0\u00a0\u00a0Die im Fachrechnen eingesetzten <a title=\"Relevante mathematische Instrumente zusammenstellen\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=1765\">mathematischen Werkzeuge<\/a> sind oft das Produkt einer viele Jahre zur\u00fcckreichenden Tradition. Es lohnt sich, einen kritischen Blick darauf zu werfen. Manchmal ist es m\u00f6glich, sie durch eine modernere Form zu ersetzen, die als Werkzeug besser in der Hand liegt. Man kann den Lernenden dadurch viel Lernaufwand ersparen und gleichzeitig die Anwendungssicherheit erh\u00f6hen.<\/p>\n<h1>Verlustrechnung: Von unhandlichen Daten zu handlichen Daten<\/h1>\n<p>In der <a title=\"K\u00f6chinnen und K\u00f6che\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=209\">K\u00fcche <\/a>stellt sich folgendes Problem, das in \u00e4hnlicher Form auch bei vielen anderen Berufen vorkommt: Werden Karotten gesch\u00e4lt, f\u00e4llt etwas weg, d.h. die gesch\u00e4lten Karotten sind leichter, als es die ungesch\u00e4lten waren. Wenn ich nun 10 kg gesch\u00e4lte Karotten haben m\u00f6chte, mit\u00a0 wie viel Kilogramm ungesch\u00e4lten Karotten muss ich beginnen?<\/p>\n<h2>Verlustprozente<\/h2>\n<p>In professionellen Kochb\u00fcchern werden als Basis f\u00fcr entsprechende Berechnungen sogenannte \u201eVerlustangaben\u201c in Prozent publiziert (beispielsweise Pauli, 2010). Auf mehreren Seiten findet man dort Angaben zu \u201eSch\u00e4lverlusten\u201c, \u201eEntkernverlusten\u201c, \u201eParierverlusten\u201c \u201eGarverlusten\u201c etc.<\/p>\n<p>Beispielsweise verliert man beim Sch\u00e4len und Putzen folgende Anteile<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Karotten:<\/strong> 15 %<\/li>\n<li><strong>Erbsen:<\/strong> 50 %<\/li>\n<li><strong>Kopfsalat:<\/strong> 33 %<\/li>\n<\/ul>\n<p>Und beim Garen schwindet das Gewicht um folgende Prozentwerte<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Karotten<\/strong> (D\u00fcnsten &amp; Glasieren): 30 %<\/li>\n<li><strong>Spargeln<\/strong> (Sieden): 20 %<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die 10 kg Karotten, die nach dem Sch\u00e4len \u00fcbrig bleiben sollen, sind also etwa 85% der urspr\u00fcnglichen Menge. Und damit man am Schluss wirklich 10 kg hat, muss man folglich mit etwa 11.764 kg beginnen.<\/p>\n<p>Denkt man weiter und m\u00f6chte man wissen, mit wie viel Karotten man beginnen muss, wenn nach dem Sch\u00e4len und dem D\u00fcnsten &amp; Glasieren noch beispielsweise 8 kg Karotten \u00fcbrig sind, dann muss dieselbe Rechnung zweimal durchgef\u00fchrt werden: 8 kg am Ende sind 70% der gesch\u00e4lten Karotten, also braucht es 11.428 gesch\u00e4lte Karotten. Und das wiederum sind 85% der ungesch\u00e4lten Karotten, also muss man mit 13.445 kg beginnen.<\/p>\n<p>Es sind auch noch mehr Arbeitsschritte denkbar, die zu entsprechend mehr Rechenschritten f\u00fchren. Beispielsweise bei Gurken: 5% Sch\u00e4lverlust, 20 % Entkernverlust und 12% Tournierverlust.<\/p>\n<h2>Faktoren statt Prozente<\/h2>\n<p>Eigentlich gibt es im Zeitalter von Smartphones, Computern und Taschenrechnern keinen Grund mehr, solche Berechnungen von Hand durchzuf\u00fchren. Ein kleines Programm und eine Datenbank erledigen das schneller und pr\u00e4ziser.<\/p>\n<p>Will man die Lernenden aber trotzdem so weit bringen, dass sie entsprechende Berechnungen bei Bedarf von Hand durchf\u00fchren k\u00f6nnen, kann man sich zumindest \u00fcberlegen, ob sich das Ganze nicht etwas handlicher gestalten liesse.<\/p>\n<p>Der Frage, die sich aus dem Arbeitsprozess heraus ergibt und die bei diesen Berechnungen beantwortet werden muss, ist immer folgende: Wenn ich am Schluss 60 g Karotten auf dem Teller jedes Gastes haben will, mit wie viel rohen, ungesch\u00e4lten Karotten muss ich beginnen?<\/p>\n<p>Die publizierten Verlustprozente eigenen sich aber viel besser, um die umgekehrte Frage zu beantworten: Ich habe vor der Bearbeitung 10 kg Karotten. Beim Sch\u00e4len fallen 15% weg. Also habe ich nach dem Sch\u00e4len noch 850 g Karotten.<\/p>\n<p>Das l\u00e4sst sich mit den vorhandenen Angaben recht einfach und ohne grosse \u00dcberlegungen beantworten. Nur sind diese Frage und diese Antwort kaum je von Interesse. F\u00fcr die praktisch relevante Frage hingegen muss man Prozentangaben immer zuerst in mindestens zwei Schritten umformen:<\/p>\n<ol>\n<li>Wenn 15% verloren gehen, dann sind die erw\u00fcnscht 10 kg 85% der Ausgangsmenge.<\/li>\n<li>Die Ausgangsmenge ist also 1.176 mal gr\u00f6sser als die Endmenge.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Wie die Verlustprozente ermittelt werden, ist vorstellbar: Man nimmt ein 1 kg Karotten, sch\u00e4lt diese und wiegt ab, wie schwer der abgesch\u00e4lte Teil ist. Warum man aber den Lernenden und \u00fcberhaupt allen K\u00f6chinnen und K\u00f6chen zumutet, diese Angaben jedes Mal, wenn sie ben\u00f6tigt werden, umzurechnen, ist nicht nachvollziehbar. Man k\u00f6nnte allen Beteiligten das Leben wesentlich erleichtern, wenn man an Stelle der Verlustprozente direkt die entsprechenden Aufrechnungsfaktoren publizieren w\u00fcrde. Also beispielsweise f\u00fcr Gurken:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Sch\u00e4len:<\/strong> 1.052<\/li>\n<li><strong>Entkernen:<\/strong> 1.250<\/li>\n<li><strong>Tournieren:<\/strong> 1.136<\/li>\n<\/ul>\n<p>So wird auf einen Blick sichtbar, dass man, um 10 kg gesch\u00e4lte Gurken zu erhalten, mit 10.520 kg ungesch\u00e4lter Gurken beginnen muss.<\/p>\n<p>Und will man mehrere Schritte aneinander h\u00e4ngen, gen\u00fcgt es, die entsprechenden Faktoren zu multiplizieren, um einen Gesamtfaktor zu erhalten. Sch\u00e4len &amp; Entkernen &amp; Tournieren: 1.052 x 1.250 x 1.136 = 1.493.<\/p>\n<p><a name=\"Mischkreuz\"><\/a><\/p>\n<h1>Mischrechnung: Vom 19. Jahrhundert ins 21. Jahrhundert<\/h1>\n<p>Bei der Mischrechnung geht es um folgende Fragestellung: Gebraucht werden beispielsweise 200 Liter <a title=\"Milchtechnologinnen und Milchtechnologen\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=211\">Milch <\/a>mit einem Fettgehalt von 2.8%. Zur Verf\u00fcgung stehen Magermilch mit 0.05% Fettgehalt und Vollmilch mit 3.8% Fettgehalt. Wie viel Milch jeder der beiden Sorten wird f\u00fcr die Mischung ben\u00f6tigt?<\/p>\n<h2>Das Mischkreuz: Ein Werkzeug aus dem 19. Jahrhundert<\/h2>\n<p>Traditionell wird dies \u00fcber das \u201eMischkreuz\u201c berechnet.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-1966 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Mischkreuz.jpg\" alt=\"Mischkreuz\" width=\"400\" height=\"217\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Mischkreuz.jpg 400w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Mischkreuz-300x162.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">Auf der linken Seite werden die Konzentrationen der beiden Ausgangsprodukte eingetragen (0.05% und 3.8%). Ins Zentrum kommt die erw\u00fcnschte Konzentration des Endprodukts (2.8%). Dann wird \u201e\u00fcbers Kreuz\u201c subtrahiert: Oben rechts wird die Differenz zwischen der erw\u00fcnschten Konzentration und der Konzentration des unteren Ausgangsproduktes eingetragen (3.8 &#8211; 2.8 = 1.0); und untern rechts die Differenz zwischen der erw\u00fcnschten Konzentration und der Konzentration des oberen Ausgangsproduktes (2.8 \u2013 0.05 = 2.75). Das Verh\u00e4ltnis der beiden errechneten Werte entspricht dem Verh\u00e4ltnis, in dem die beiden Ausgangsprodukte gemischt werden m\u00fcssen.<\/p>\n<p>Zu Zeiten, als es noch keine Taschenrechner und Computer gab, war dieses Verfahren sicher sehr praktisch. Heute erledigt ein kleines Programm die Berechnung aber schneller und pr\u00e4ziser. Es gibt also keinen Grund mehr, das Gehirn Lernender zu Rechenmaschinen umformen zu wollen, zumal sich das Gehirn daf\u00fcr denkbar schlecht eignet (vgl. dazu etwa Devlin, 2003).<\/p>\n<p>Wenn man sich in der Ausbildung noch mit dem Mischkreuz auseinandersetzt, muss es daf\u00fcr einen anderen Grund als die praktische Anwendung geben. Und dieser kann eigentlich nur sein, dass man damit bei den Lernenden das Verst\u00e4ndnis f\u00fcr die Zusammenh\u00e4nge zwischen den verschiedenen Gr\u00f6ssen f\u00f6rdern m\u00f6chte. Hier leistet das Mischkreuz aber einen schlechten Dienst. Warum es funktioniert, ist intuitiv nur schwer nachvollziehbar, und entsprechend haben viele Lernende grosse M\u00fche damit.<\/p>\n<h2>Der Sonderfall mit 0%<\/h2>\n<p>Dabei sind die Verh\u00e4ltnisse, die sich beim Mischen einstellen, durchaus einem intuitiven Verst\u00e4ndnis zug\u00e4nglich. Werden zwei Teilmengen gemischt, von denen die eine 0% Fettgehalt aufweist, ergibt sich ein besonders \u00fcbersichtlicher Sonderfall. Der resultierende %-Satz steigt von null ausgehend linear an, je mehr man von der Teilmenge beif\u00fcgt, deren Fettgehalt von null verschieden ist. Dies l\u00e4sst sich leicht mittels einer <a title=\"Tabellen statt Formeln\" href=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/?page_id=2109\">Tabelle <\/a>durchspielen. Beispielsweise:<\/p>\n<table style=\"width: 80%; margin-left: 10%; margin-right: 10%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 33%; border: 1px solid #000000;\">Teilmenge I<br \/>\n(Fettgehalt 3.8%)<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 33%;\">Teilmenge II<br \/>\n(Fettgehalt 0%)<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 33%;\">Fettgehalt<br \/>\nder Mischung<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">0 Liter<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">200 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">0%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">50 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">150 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">0.95%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">100 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">100 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1.9%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">150 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">50 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">2.75%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">200 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">0 Liter<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">3.8%<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h2>Eine \u201eLupe\u201c f\u00fcr bestimmte Werte<\/h2>\n<p>Sucht man das Mischverh\u00e4ltnis f\u00fcr einen bestimmten Zielwert \u2013 beispielsweise f\u00fcr 2.5% &#8211; kann man den entsprechenden Ausschnitt der Tabelle verfeinern:<\/p>\n<table style=\"width: 80%; margin-left: 10%; margin-right: 10%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 33%; border: 1px solid #000000;\">Teilmenge I<br \/>\n(Fettgehalt 3.8%)<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 33%;\">Teilmenge II<br \/>\n(Fettgehalt 0%)<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 33%;\">Fettgehalt<br \/>\nder Mischung<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">100 Liter<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">100 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1.9%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">125 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">75 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">2.325%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">137.5 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">62.5 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">2.5375%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">150 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">50 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">2.75%<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Mit 137 Liter der Teilmenge I und 63 Liter der Teilmenge II erreicht man vermutlich eine praktikable N\u00e4herung. Wie viele Stellen man beim Ausrechnen der Prozents\u00e4tze mitschleppen soll, ist eine praktische Frage und h\u00e4ngt davon ab, wie genau das Resultat sein muss.<\/p>\n<h2>Der allgemeine Fall<\/h2>\n<p>Ist die Konzentration in der Teilmenge II von 0% verschieden, \u00e4ndert sich nichts Wesentliches. Einzig der Ankerpunkt am unteren Ende der Skala, in der ersten Zeile der Tabelle, ist dann nicht 0% sondern der entsprechende %-Satz f\u00fcr die Konzentration in der Teilmenge II. Beispielsweise:<\/p>\n<table style=\"width: 80%; margin-left: 10%; margin-right: 10%; line-height: 1em; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 33%; border: 1px solid #000000;\">Teilmenge I<br \/>\n(Fettgehalt 3.8%)<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 33%;\">Teilmenge II<br \/>\n(Fettgehalt 0.05%)<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: solid solid solid none; border-width: 1px; text-align: center; width: 33%;\">Fettgehalt<br \/>\nder Mischung<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">0 Liter<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">200 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">0.05%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">50 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">150 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">0.9875%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">100 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">100 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">1.925%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">150 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">50 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">2.8625%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">.<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid solid; border-width: 1px; text-align: center;\">200 Liter<\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">0 Liter<strong><br \/>\n<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #000000; border-style: none solid solid none; border-width: 1px; text-align: center;\">3.8%<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Auch hier gilt: Auf halbem Weg, d.h. wenn von beiden Teilmengen gleich viel eingesetzt wird, ist auch der Prozentsatz auf halbem Weg zwischen dem minimal m\u00f6glichen und dem maximal m\u00f6glichen Wert. Etc. Bei einem Zielwert von 2.8% bilden vermutlich 150 Liter und 50 Liter f\u00fcr praktische Zwecke eine ausreichend genaue N\u00e4herung.<\/p>\n<h2>Eine graphische Variante<\/h2>\n<p>Man kann die Aufgabe aber auch graphisch angehen; beispielsweise f\u00fcr den Fall<\/p>\n<ul>\n<li>gew\u00fcnschte Menge: 1250 l<\/li>\n<li>Konzentration in Teilmenge I: 3.5%<\/li>\n<li>Konzentration in Teilmenge II: 0.3%<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dazu zeichnet man die gew\u00fcnschte Gesamtmenge (Total) auf der X-Achse und den Fettgehalt der Mischung auf der Y-Achse ein (vgl. Abbildung 1; dort ist der Fettgehalt in Promille angegeben, damit bei der Beschriftung keine Kommas notwendig sind).<\/p>\n<p>Die Menge auf der X-Achse kann man an einer beliebigen Stelle in die beiden Teilmengen TM I (links) und TM II (rechts) unterteilen.<\/p>\n<p>Setzt man den Trennpunkt ganz links, also TM I = 0 und TM II = Total, dann entspricht der Fettgehalt der Mischung nat\u00fcrlich dem Fettgehalt von TM II (im Beispiel Punkt A, ca. 0.3%).<\/p>\n<p>Setzt man den Trennpunkt ganz rechts, also TM I = Total und TM II = 0, dann ist entsprechend der Fettgehalt der Mischung gleich dem Fettgehalt von TM I (im Beispiel Punkt C, ca. 3.5%).<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-1960 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Mischrechnung.jpg\" alt=\"Mischrechnung\" width=\"423\" height=\"209\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Mischrechnung.jpg 423w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Mischrechnung-300x148.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 423px) 100vw, 423px\" \/><\/p>\n<p>Abbildung 1: Mengenverh\u00e4ltnis und Fettgehalt beim Mischen von zwei Milchmengen.<\/p>\n<p>F\u00fcr alle Trennpunkte dazwischen liegt der Fettgehalt der Mischung, die so entsteht, auf der Geraden durch die beiden Punkte A und C. M\u00f6chte man wissen, welchen Fettgehalt man f\u00fcr eine bestimmte Mischung erh\u00e4lt, kann man einfach vom Trennpunkt nach oben bis zur Graden gehen und dann nach links bis zur Y-Achse (im Beispiel TM I = 740 l, TM II = 510 l, Fettgehalt der Mischung ca. 2.2%).<\/p>\n<p>Nat\u00fcrlich kann man auch umgekehrt von einem gew\u00fcnschten Fettgehalt auf der Y-Achse \u00fcber die Gerade zum entsprechenden Trennpunkt gehen und erh\u00e4lt so die ben\u00f6tigten Teilmengen I und II.<\/p>\n<p>Das klassische Mischkreuz l\u00e4sst sich anhand dieser Darstellung verstehen. Analysiert man, was beim Mischkreuz gerechnet wird, dann sieht man, dass oben rechts und unten rechts je die Differenz zwischen dem erw\u00fcnschte Fettgehalt und dem Fettgehalt einer der beiden Teilmengen steht. Und das Verh\u00e4ltnis dieser Werte soll offenbar dem Verh\u00e4ltnis der beiden Teilmengen entsprechen \u2013 allerdings dem umgekehrten Verh\u00e4ltnis, da die Differenzen ja \u201e\u00fcbers Kreuz\u201c gebildet werden. Als Formel geschrieben:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-1978 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Formel_Mischkreuz_1.jpg\" alt=\"Formel_Mischkreuz_1\" width=\"167\" height=\"56\" \/><\/p>\n<p>Man kann die Formel auch umschreiben und dann geometrisch interpretieren:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-1979 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/Formel_Mischkreuz_2.jpg\" alt=\"Formel_Mischkreuz_2\" width=\"229\" height=\"62\" \/><\/p>\n<p>In Abbildung 2 unten sieht man, dass diese vier Gr\u00f6ssen die L\u00e4ngen von vier Seiten in zwei Dreiecken sind:<\/p>\n<ul>\n<li><i>TM II<\/i> (Menge A): \u201eBreite\u201c des rechten Dreiecks<\/li>\n<li><i>F I \u2013 F gew\u00fcnscht<\/i>: \u201eH\u00f6he\u201c des rechten Dreiecks<\/li>\n<li><i>TM I<\/i> (Menge B): \u201eBreite\u201c des linken Dreiecks<\/li>\n<li><i>F gew\u00fcnscht \u2013 F II<\/i>: \u201eH\u00f6he\u201c des linken Dreiecks<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-1959 aligncenter\" style=\"border: 0pt none;\" src=\"http:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/AehnlicheDreiecke.jpg\" alt=\"AehnlicheDreiecke\" width=\"394\" height=\"217\" srcset=\"https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/AehnlicheDreiecke.jpg 394w, https:\/\/hrkll.ch\/WordPress\/wp-content\/uploads\/AehnlicheDreiecke-300x165.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 394px) 100vw, 394px\" \/><\/p>\n<p>Abbildung 2: Zwei \u00e4hnliche Dreiecke beim Mischen von zwei Milchmengen<\/p>\n<p>Diese beiden Dreiecke weisen dieselben Winkel auf, sind also \u00e4hnlich. Und dies wiederum bedeutet, dass in den beiden Dreiecken das Verh\u00e4ltnis von \u201eH\u00f6he\u201c zu \u201eBreite\u201c gleich gross ist, dass also je die Verh\u00e4ltnisse zwischen der horizontalen Seite (Milchmenge) und der vertikalen Seite (Differenz zwischen zwei Konzentrationen) dieselbe ist. Und das entspricht genau der Aussage der Formel oben und ist somit genau der Zusammenhang, der im klassischen Mischkreuz genutzt wird.<\/p>\n<h2>Eine kleine Animation<\/h2>\n<p>Im 21. Jahrhundert kann man die Graphik nat\u00fcrlich auch bewegt darstellen. Ich habe dazu mit GeoGebra eine <a title=\"Mischen ohne Mischkreuz\" href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Modernisieren\/Mischkreuz_4_1.html\" target=\"_blank\">kleinen Animation<\/a> entworfen. (Sollte die Animation nicht laufen, kann man die <a href=\"http:\/\/www.hrkll.ch\/\/vom_Kopf_auf_die_Fuesse\/Hintergrund\/Mischkreuz_4_1.ggb\" target=\"_blank\">GeoGebra Datei<\/a> auch herunterladenund lokal mit <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/cms\/de\/\" target=\"_blank\">GeoGebra <\/a>ausf\u00fchren.)<\/p>\n<p>Will man diese Animation in der Ausbildung oder gar im beruflichen Alltag nutzen, m\u00fcsste man sie noch etwas sorgf\u00e4ltiger ausbauen. Beispielsweise l\u00e4sst sich der Trennpunkt im Moment noch nach links und rechts unter null bzw. \u00fcber die Totalmenge hinaus verschieben, was nat\u00fcrlich nicht sein darf. Vermutlich liesse sich die Animation mit wenig Aufwand als App f\u00fcr Smartphones realisieren.<\/p>\n<h1>Zitierte Literatur<\/h1>\n<ul>\n<li>Devlin, K. (2003). <em>Das Mathe-Gen: oder Wie sich das mathematische Denken entwickelt + Warum Sie Zahlen ruhig vergessen k\u00f6nnen.<\/em> M\u00fcnchen Deutscher Taschenbuch Verlag.<\/li>\n<li>Pauli, P. (2010). <em>Lehrbuch der K\u00fcche<\/em>. Neuhausen a.R.: Pauli Fachbuchverlag.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>pdf \u00a0\u00a0\u00a0Die im Fachrechnen eingesetzten mathematischen Werkzeuge sind oft das Produkt einer viele Jahre zur\u00fcckreichenden Tradition. Es lohnt sich, einen kritischen Blick darauf zu werfen. 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